概率论习题第三章答案.doc

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1、第三章连续型随机变量3.1设随机变量的分布函数为F（x），试以F（x）表示下列概率：3.2函数是否可以作为某一随机变量的分布函数，如果解：(1)F(x)在内不单调，因而不可能是随机变量的分布函数；　　(2)F(x)在内单调下降，因而也不可能是随机变量的分布函数；　　(3)F(x)在内单调上升、连续且，若定义　　则可以是某一随机变量的分布函数。3.3函数sinx是不是某个随机变量的分布函数？如果的取值范围为解：(1)当时,sinx且，所以sinx可以是某个随机变量的分布密度；(2)因为,所以sinx不是随机变量的分布密度；(3)当时,sinx<=0所以sinx不是随机变量的分布密度。3

2、.4设随机变量具有对称的分布函数p(x)，即p(x)=p(-x)证明：对任意的a>0，有3.5设与都是分布函数，证明F(x)=aF(x)+bF(x)也是一个分布函数，并由此讨论，分布函数是否只有离散型和连续型这两种类型？证：因为与都是分布函数，于是F(x1)＝aF1(x1)+bF2(x2)<=aF1(x1)+bF2(x2)=F(x2)又F(x-0)=aF1(x1-0)+bF2(x2-0)=aF1(x)+bF2(x)=F(x)所以，F(x)也是分布函数。取a=b=1/2,又令F1(x)=0x<=0,1x>0F2(x)=0x<＝0x01此时既然，与F(x)对应的随机变量不

3、是取有限个或可列个值，故F(x)不是离散型的，而F(x)不是连续函数，所以它也不是连续型的。3.6设随机变量的分布函数为求相应的密度函数，并求。解：，所以相应的密度函数为3.7设随机变量的分布函数为求常数A及密度函数。解：因为F(1-0)=F(1)，所以A＝1，密度函数为3.8随机变量的分布函数为F(x)=A+Barctg(x),常数A与B及相应的密度函数。解：因为所以因而3.9已知崔机变量的分布函数为（1）求相应的分布函数F(x);（2）求解：3.10确定下列函数仲的常数A，使该函数成为一元分布的密度函数。（1）（2）（3）解：（1），所以；（2），所以；（3），所以。3.11在△

4、ABC中任取一点P,P到AB的距离为,求的分布函数.解:作△ABC的高CD,设CD=h。当0≤x≤h时,作EF∥AB,椒EF与AB间距离为x。当0≤x≤h时F(x)=P(＜x)==1－=1－,因此F(x)=3.12在半径为R,球心为O的球内任去一点P,求解:当0≤x≤R时F(x)=P(

5、每天的供电量为90万度,则供电量不够需要的概率为0.0037.3.14设随机变量服从(0,5)上的均匀分布,求方程有实根的概率.解:当且仅当(1)成立时,方程有实根.不等式(1)的解为:3.15设随机变量服从正态分布N(0,1),求(1)(3)解:(2)=0.4838;3.16设随机变量ξ服从正态分布N(108，9)，（1）求P（101.1<ξ<117.6);(2)求常数α,使P(ξ<α)=0.90;(3)求常数α,使P(｜ξ-α｜>α)=0.01。解:(1)P（101.1<ξ<117.6)=P(2)3．20设二维随机变量（）的联合函数为F（x,y），用它表示（）落在区域D（如下图所

6、示）内的概率：yOD解：3。21证明：二元函数对每个变元单调非降、左连续，且F（-∞，y）=F(x,-∞)=0,F(-∞,+∞)=0,但是F（x，y）并不是一个分布函数。证：设⊿x>0,若x+y>0,由于x+⊿x+y>0,所以F（x,y）=F(x+⊿x,y)=1,若x+y≤0,则F（x,y）=0.当x+⊿x+y≤0时，F（x+⊿x,y)=0，当x+⊿x+y>0时，F（x+⊿x,y)=1。所以F（x，y）≤F（x+⊿x，y）。可见，F（x，y）对x非降。同理，F（x，y）对y非降。（2）x+y≤0时，（3）F（-∞，y）=F(x,-∞)=0,F(+∞,+∞)=0.(4)P(0≤所以F（

7、x,y）不是一个分布函数。3．22设在⊿ABC中，AB=l、BC=k,∠B=90,在⊿ABC中任取一点M,M到AB的距离为,∠MAB=解:设0≤x≤k,arctgN与AB的距离为x.作ND//AB,NE⊥AB且点D和点E分别在BC和AB上,显然EN=x.AyMLXEBKDNC至于时，同理可得3．23二维随机变量（的密度函数为求（的分布函数。解：F(x,y)=3．24设二维随机变量（的联合密度为（1）求常数k；（2）求相应的分布函数；（3）求P。解：（1），