全国高考数学复习中档大题规范练(四)立体几何与空间向量理.doc

全国高考数学复习中档大题规范练(四)立体几何与空间向量理.doc

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1、(四)立体几何与空间向量1.(2018·四川成都市第七中学诊断)在多面体ABCDEF中,底面ABCD是梯形,四边形ADEF是正方形,AB∥DC,AB=AD=1,CD=2,AC=EC=.(1)求证:平面EBC⊥平面EBD;(2)设M为线段EC上一点,3=,求二面角M-BD-E的平面角的余弦值.(1)证明 由AD=1,CD=2,AC=,得AD2+CD2=AC2,∴△ADC为直角三角形,且AD⊥DC,同理△EDC为直角三角形,且ED⊥DC.又四边形ADEF是正方形,∴AD⊥DE.又AB∥DC,∴DA⊥AB.在梯形ABCD中,过点B作BH⊥CD于点H,故四边形ABHD是正方形

2、.在△BCH中,BH=CH=1,10∴∠BCH=45°,BC=,∴∠BDC=45°,∴∠DBC=90°,∴BC⊥BD.∵ED⊥AD,ED⊥DC,AD∩DC=D,AD,DC⊂平面ABCD,∴ED⊥平面ABCD,又BC⊂平面ABCD,∴ED⊥BC,又BD∩ED=D,BD,ED⊂平面EBD,∴BC⊥平面EBD,又BC⊂平面EBC,∴平面EBC⊥平面EBD.(2)解 由(1)可得DA,DC,DE两两垂直,以D为原点,DA,DC,DE所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则D(0,0,0),E(0,0,1),B(1,1,0),C(0,2,0).令M(0,

3、y0,z0),则=(0,y0,z0-1),=(0,2,-1),∵3=,∴(0,3y0,3z0-3)=(0,2,-1),∴点M的坐标为.∵BC⊥平面EBD,∴=(-1,1,0)是平面EBD的一个法向量.设平面MBD的法向量为m=(x,y,z).=(1,1,0),=,则即可得x=-y=z.令y=-1,得m=(1,-1,1).10∴cos〈m,〉===-.由图形知二面角M-BD-E为锐角,∴二面角M-BD-E的平面角的余弦值为.2.(2018·安徽省合肥市第一中学模拟)底面OABC为正方形的四棱锥P-OABC,且PO⊥底面OABC,过OA的平面与侧面PBC的交线为DE,且满

4、足S△PDE∶S△PBC=1∶4.(1)证明:PA∥平面OBD;(2)当S=3S时,求二面角B-OE-C的余弦值.(1)证明 由题意知四边形OABC为正方形,∴OA∥BC,又BC⊂平面PBC,OA⊄平面PBC,∴OA∥平面PBC,又OA⊂平面OAED,平面OAED∩平面PBC=DE,∴DE∥OA,又OA∥BC,∴DE∥BC.由△PDE∽△PCB,且S△PDE∶S△PBC=1∶4,知E,D分别为PB,PC的中点.连接AC交OB于点F,则点F为AC的中点,连接DF.∵DF∥PA,DF⊂平面OBD,PA⊄平面OBD,∴PA∥平面OBD.(2)解 ∵底面OABC为正方形,10

5、且PO⊥底面OABC,∴PO,OA,OC两两垂直,以O为坐标原点,OA,OC,OP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,设OA=OC=2a,OP=2b,则O(0,0,0),C(0,2a,0),B(2a,2a,0),F(a,a,0),P(0,0,2b),E(a,a,b).∵PO⊥平面OABC,CF⊂平面OABC,∴CF⊥PO.∵四边形OABC为正方形,∴CF⊥OB,又PO∩OB=O,PO,OB⊂平面POB,∴CF⊥平面POB,即CF⊥平面OBE,∴平面OBE的一个法向量为=(a,-a,0).设平面OEC的一个法向量为m=(x,y,z),

6、而=(0,2a,0),=(a,a,b).由得取z=-a可得,m=(b,0,-a)为平面OCE的一个法向量.设二面角B-OE-C的大小为θ,由图易得θ为锐角,由S=3S,得PO=OA,∴=.故cosθ===,∴二面角B-OE-C的余弦值为.3.(2018·宁夏回族自治区银川一中模拟)如图,已知△DEF与△ABC分别是边长为1与2的正三角形,AC∥DF,四边形BCDE为直角梯形,且DE∥BC,BC⊥CD,点G为△ABC的重心,N10为AB的中点,AG⊥平面BCDE,M为线段AF上靠近点F的三等分点.(1)求证:GM∥平面DFN;(2)若二面角M-BC-D的余弦值为,试求异

7、面直线MN与CD所成角的余弦值.(1)证明 在△ABC中,连接AG并延长交BC于点O,连接ON,OF.因为点G为△ABC的重心,所以=,且O为BC的中点.又=,所以==,所以GM∥OF.因为点N为AB的中点,所以NO∥AC.又AC∥DF,所以NO∥DF,所以O,D,F,N四点共面,又OF⊂平面DFN,GM⊄平面DFN,所以GM∥平面DFN.(2)解 由题意知,AG⊥平面BCDE,因为AG⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面BCDE,又BC⊥CD,平面ABC∩平面BCDE=BC,CD⊂平面BCDE,所以CD⊥平面ABC.10又四边形BCDE为直角梯形,B

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