高考数学一轮复习课后限时集训45垂直关系理北师大版.docx

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1、课后限时集训45垂直关系建议用时：45分钟一、选择题1．(2019·昆明模拟)已知直线l⊥平面α，直线m∥平面β，若α⊥β，则下列结论正确的是(　　)A．l∥β或lβ　　　　　　B．l∥mC．m⊥αD．l⊥mA　[直线l⊥平面α，α⊥β，则l∥β或lβ，A正确，故选A.]2．已知直线m，n和平面α，β，则下列四个命题中正确的是(　　)A．若α⊥β，mβ，则m⊥αB．若m⊥α，n∥α，则m⊥nC．若m∥α，n∥m，则n∥αD．若m∥α，m∥β，则α∥βB　[对于A，若α⊥β，mβ，则当m与α，β的交线垂直时才有m⊥α，故A错；对于B，若n∥α，则α内存在直线a，使

2、得a∥n，∵m⊥α，∴m⊥a，∴m⊥n，故B正确；对于C，当nα时，显然结论错误，故C错；对于D，若α∩β＝l，则当m∥l时，显然当条件成立时，结论不成立，故D错．故选B.]3.如图，在四面体DABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是(　　)A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDEC　[因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE

3、.又由于AC平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.]4.(2019·宁夏模拟)如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，PA⊥平面ABC，则四面体PABC的四个面中，直角三角形的个数有(　　)A．4个B．3个C．2个D．1个A　[∵AB是圆O的直径，∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，△ABC是直角三角形．又PA⊥⊙O所在平面，∴△PAC，△PAB是直角三角形．且PA⊥BC，因此BC垂直于平面PAC中两条相交直线，∴BC⊥平面PAC,∴△PBC是直角三角形．从而△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的个数是4.故选A.]5．(2017·全

4、国卷Ⅲ)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则(　　)A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1D．A1E⊥ACC　[如图，∵A1E在平面ABCD上的投影为AE，而AE不与AC，BD垂直，∴选项B，D错误；∵A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C，且B1C⊥BC1，∴A1E⊥BC1，故选项C正确；(证明：由条件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE，又CE∩B1C＝C，∴BC1⊥平面CEA1B1.又A1E平面CEA1B1，∴A1E⊥BC1.)∵A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E，而D1E不与DC1垂直，故选项A错误．故选C.]二、填空题

5、6．(2019·北京高考)已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________.如果l⊥α，m∥α，则l⊥m(或若l⊥m，l⊥α，则m∥α)　[将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：(1)如果l⊥α，m∥α，则l⊥m，正确；(2)如果l⊥α，l⊥m，则m∥α，正确；(3)如果l⊥m，m∥α，则l⊥α，错误，有可能l与α斜交或l∥α.]7.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角

6、的正弦值为________．　[连接A1C1，则∠AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成的角．因为AB＝BC＝2，所以A1C1＝AC＝2，又AA1＝1，所以AC1＝3，所以sin∠AC1A1＝＝.]8.(2019·潍坊模拟)四面体PABC中，PA＝PB＝PC，底面△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC，O为AB中点，请从以下平面中选出两个相互垂直的平面________．(只填序号)①平面PAB；②平面ABC；③平面PAC；④平面PBC；⑤平面POC.②⑤(答案不唯一)　[∵四面体PABC中，PA＝PB＝PC，底面△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC，O为AB中点，∴

7、CO⊥AB，PO⊥AB，CO∩PO＝O，∴AB⊥平面POC.∵AB平面ABC,∴平面POC⊥平面ABC，∴两个相互垂直的平面为②⑤.]三、解答题9．(2019·江苏高考)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC.求证：(1)A1B1∥平面DEC1；(2)BE⊥C1E.[证明]　(1)因为D，E分别为BC，AC的中点，所以ED∥AB.在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB∥A1B1，所以A1B1∥ED.又因为ED平面DEC1，A1B1平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1.(2)因为AB＝BC，E为