线性代数 ch05_复旦大学(周勇)课件.ppt

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1、第五章矩阵对角化§1方阵的特征值与特征向量一、基本概念定义：设A是n阶矩阵，如果数l和n维非零向量x满足Ax=lx，那么这样的数l称为矩阵A的特征值，非零向量x称为A对应于特征值l的特征向量．例：则l=1为的特征值，为对应于l=1的特征向量.一、基本概念定义：设A是n阶矩阵，如果数l和n维非零向量x满足Ax=lx，那么这样的数l称为矩阵A的特征值，非零向量x称为A对应于特征值l的特征向量．Ax=lx=lEx非零向量x满足(A−lE)x=0（零向量）齐次线性方程组有非零解系数行列式

2、A−lE

3、=0特征方程特征多项式特征方程

4、A−lE

5、=0特征多项式

6、A−lE

7、特征值问

8、题只是对方阵而言特征向量必须是非零向量例1：求矩阵的特征值和特征向量．解：A的特征多项式为所以A的特征值为l1=2，l2=4．当l1=2时，对应的特征向量应满足，即解得基础解系．kp1（k≠0）就是对应的特征向量．例1：求矩阵的特征值和特征向量．解：A的特征多项式为所以A的特征值为l1=2，l2=4．当l2=4时，对应的特征向量应满足，即解得基础解系．kp2（k≠0）就是对应的特征向量．例2：求矩阵的特征值和特征向量．解：所以A的特征值为l1=−1，l2=l3=2．例2：求矩阵的特征值和特征向量．解（续）：当l1=−1时，因为解方程组(A+E)x=0．解得基础解系．k

9、p1（k≠0）就是对应的特征向量．例2：求矩阵的特征值和特征向量．解（续）：当l2=l3=2时，因为解方程组(A−2E)x=0．解得基础解系．k2p2+k3p3（k2,k3不同时为零）就是对应的特征向量．求矩阵特征值与特征向量的步骤：思考题：已知0是矩阵的特征值，求（1）a的值，（2）矩阵A的特征值和特征向量．二、基本性质性质1:一个特征向量只能属于一个特征值(相同的看成一个)．证明再继续施行上述步骤次，就得性质2：若l是方阵A的特征值，x是A对属于l的特征向量，则l是A的特征值，对应的特征向量也是x．lk是Ak的特征值，对应的特征向量也是x．当A可逆时，1/l是

10、A−1的特征值，对应的特征向量仍然是x．性质4:设n阶矩阵A的特征值为l1,l2,…,ln，则l1+l2+…+ln=a11+a22+…+annl1l2…ln=

11、A

12、性质3:A与AT有相同的特征值．例3：若四阶矩阵B的特征值为，求行列式的值．性质5：设l1,l2,…,lm是方阵A的特征值，p1,p2,…,pm依次是与之对应的特征向量，如果l1,l2,…,lm各不相同，则p1,p2,…,pm线性无关．属于不同特征值的特征向量是线性无关的．§2相似矩阵定义2.5：设A,B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P满足P−1AP=B，则称B为矩阵A的相似矩阵，或称矩阵A和B相似．对A进行运

13、算P−1AP称为对A进行相似变换．称可逆矩阵P为把A变成B的相似变换矩阵．二、相似矩阵的概念与性质性质2：相似矩阵如可逆，则逆矩阵也相似．性质3：若A与B相似，则Ak与Bk相似，其中k为正整数．性质1：相似矩阵具有相同的秩和行列式．定理2.3：若n阶矩阵A和B相似，则A和B的特征多项式相同,从而A和B的特征值也相同．证明：根据题意，存在可逆矩阵P，使得P−1AP=B．于是

14、B−lE

15、=

16、P−1AP−P−1(lE)P

17、=

18、P−1(A−lE)P

19、=

20、P−1

21、

22、A−lE

23、

24、P

25、=

26、A−lE

27、．设n阶矩阵L=diag(l1,l2,…,ln)，则l1,l2,…,ln就是L的n个

28、特征值．证明：故l1,l2,…,ln就是L的n个特征值．定理2.4：n阶矩阵A和对角阵相似（即A能对角化）的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量．推论1：如果A有n个不同的特征值，则A和对角阵相似．说明：当A的特征方程有重根时，就不一定有n个线性无关的特征向量，从而不一定能对角化．三、方阵对角化推论2：设A为n阶对称阵，l是A的特征方程的k重根，有r（A−lE）等于n−k，则A可以对角化．例1判断下列实矩阵能否化为对角阵？解解之得基础解系求得基础解系解之得基础解系故不能化为对角矩阵.A能否对角化？若能对角例2解解之得基础解系所以可对角化.注意即矩阵的列向量和对角矩

29、阵中特征值的位置要相互对应．一、向量的内积定义2.1：设有n维向量令（x,y）=x1y1+x2y2+…+xnyn=xTy，则称（x,y）为向量x和y的内积．说明：内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数．定义2.2：令称

30、

31、x

32、

33、为n维向量x的长度（或范数）．当

34、

35、x

36、

37、=1时，称x为单位向量．当时，是单位向量，这一运算称为把向量x单位化。定义2.3：当x≠0且y≠0时，把称为n维向量x和y的夹角．当（x,y）=0，称向量x和y正交．若x=0，则x与任何向量都正交．一组两两正交的非零向量，称为正交向量组正交向量组１正交和正交向量组的概念定理2.