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1、第三章 向量组的线性相关性§1n维向量定义1.1：n个有顺序的数a1,a2,…,an所组成的数组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量，第i个数ai称为第i个分量（或坐标）．分量全为实数的向量称为实向量．分量全为复数的向量称为复向量．行向量，列向量，，当时，分量全是零的向量，称为零向量，维数不同的零向量不相等。一、n维向量的概念定义1.2：设，，那么向量称为两向量的和，记为．向量的差，定义1.3：向量的数乘，运算规律：定义1.5：设有m个n维向量：α1,α2,…,αm，对于任何一组实数c1,c2,…,cm，表达式c1α1+c2α2+
2、…+cmαm称为向量α1,α2,…,αm的一个线性组合．c1,c2,…,cm称为这个线性组合的系数．对于n维向量α，如果存在一组实数l1,l2,…,lm，使得α=l1α1+l2α2+…+lmαm则称向量α能由α1,α2,…,αm线性表示（或α是α1,α2,…,αm的线性组合）．例：设那么线性组合的系数ε1,ε2,ε3的线性组合一般地，对于任意的n维向量β，必有n阶单位矩阵En的列向量叫做n维单位向量．§2向量组的线性相关性定义：若干个同维数的向量所组成的集合称为向量组．一、n维向量组的线性相关性定义2.1：给定向量组：α1,α2,…,α
3、m，如果存在不全为零的实数c1,c2,…,cm，使得c1α1+c2α2+…+cmαm=0（零向量）则称向量组α1,α2,…,αm是线性相关的，否则称它是线性无关的．当向量组线性无关时，也称这个向量组是线性无关（向量）组。1、线性相关性的概念例1：证明（1）n维单位坐标向量组ε1,ε2,…,εn的线性相关性．（2）若为任一n维向量，则ε1,ε2,…,εn,α线性相关。例2：讨论下列向量组的线性相关性：（p为实数）解：(1)设有实数λ1，λ2：使得则由此得此方程组有唯一解：所以α1,α2线性无关例3：已知向量组α1,α2,α3线性无关，且β
4、1=α1+α2，β2=α2+α3，β3=α3+α1，试证明向量组β1,β2,β3线性无关．解：设有x1，x2，x3使得：即：整理得：由α1,α2,α3线性无关得：方程组系数行列式不为零，齐次线性方程组只有零解从而向量组β1,β2,β3线性无关．备注：零向量是线性相关的．任一非零向量线性无关．包含零向量的向量组是线性相关．两个向量线性相关的充分必要条件是它们的对应分量成比例．定理2.1：向量组α1,α2,…,αm（m≥2）线性相关的充分必要条件是至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示．于是就有即α1能由α2,…,αm线性表示.证明：如
5、果向量组α1,α2,…,αm(m≥2)线性相关，则有不全为零的数2、相关性判定定理如果向量组A中有一个向量能由其余向量线性表示.设αm能由α1,α2,…,αm-1线性表示:于是所以向量组线性相关.定理2.2：若向量组：α1,α2,…,αm线性相关，则向量组α1,α2,…,αm,αm+1也线性相关．其逆否命题也成立，即若向量组：α1,α2,…,αm,αm+1线性无关，则向量组α1,α2,…,αm也线性无关．定理2.3：设向量组：α1,α2,…,αm线性无关，而向量组α1,α2,…,αm,β线性相关，则向量β必能由向量组A线性表示，且表示式
6、是唯一的．3、向量组与矩阵可见矩阵与向量组在形式上能够互相转化，因此可用矩阵讨论向量组的有关问题．结论：一个矩阵可以看做由有限个行向量(或列向量)所构成的向量组．一个含有限个向量的向量组可构成矩阵．定义：设有向量组A：α1,α2,…,αr及B：β1,β2,…,βs，若向量组A中的每个向量都能由向量组B线性表示，则称向量组A能由向量组B线性表示．若向量组A与向量组B能互相线性表示，则称这两个向量组等价．对于α1，存在一组实数k11,k12,…,k1s，使得α1=k11β1+k12β2+…+k1sβs；对于α2，存在一组实数k21,k22,
7、…,k2s，使得α2=k21β1+k22β2+…+k2sβs；……对于αr，存在一组实数kr1,kr2,…,krs，使得αr=kr1a1+kr2a2+…+krsβs设有向量组A：α1,α2,…,αr及B：β1,β2,…,βs，若向量组A能由向量组B线性表示，即线性表示的系数矩阵即：A=KB若α1,α2,…,αr及β1,β2,…,βs为行向量时，即：A=BK若α1,α2,…,αr及β1,β2,…,βs为列向量时，定理2.4设有两个向量组二、向量组线性相关性的矩阵判别法定理2.5设有两个向量组即βi是αi添加一个分量而得．若(Ⅰ)组向量线性
8、无关，则(Ⅱ)组向量也线性无关．说明：定理2.5是对增加一个分量而言的，若增加多个分量，结论也成立推论：r维向量组的每个向量在相应位置添上n-r个分量，成为n维向量组．若r维向量组线性无关，则n维向量组亦线
