线性代数-(周勇)文档

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1、线性代数第一章行列式第一节二阶与三阶行列式一、二元线性方程组与二阶行列式对于二元线性方程组（１．１）使用加减消元法，当时，方程组(1.1)有解为，　．（１．２）(1.2)式中的分子、分母都是4个数分两对相乘再相减而得．其中分母是由方程组(1.1)的4个系数确定的，把这4个数按它们在方程组(1.1)中的位置，排成两行两列(横排称行、竖排称列)的数表（１．３）表达式称为数表(1.3)所确定的行列式，记作，（１．４）数(i=1,2;j=1,2)称为行列式(1.4)的元素．元素的第一个下标i称为行标，表明该元素位于第i行，第二个下标j称为列标，表明该元素位于第j列．上述二阶行列式的定义可用对角线法则

2、记忆．如图1-1所示，即实线连接的两个元素(主对角线)的乘积减去虚线连接的两个元素(次对角线)的乘积．图1-1例1＝３×１－（－２）×２＝７.二、三阶行列式三、定义1.1设有9个数排成3行3列的数表（１．5）用记号表示代数和上式称为数表(1.5)所确定的三阶行列式，即Ｄ＝=（１．６）三阶行列式表示的代数和，也可以由下面的对角线法则来记忆，如图1-2所示，其中各实线连接的3个元素的乘积是代数和中的正项，各虚线连接的3个元素的乘积是代数和中的负项．图1-2例2计算三阶行列式Ｄ＝解由对角线法则Ｄ＝１×（－２）×（－５）＋２×（－１）×（－３）＋３×４×２－３×（－２）×（－３）－２×２×（－５）－

3、１×４×（－１）＝４６．例3>0的充分必要条件是什么?解由对角线法则=＞0当且仅当｜a｜＞1，因此可得：＞0的充分必要条件是｜a｜＞1．第二节n阶行列式的定义一、全排列及其逆序数把n个不同元素按某种次序排成一列，称为n个元素的全排列．n个元素的全排列的总个数，一般用Pn表示，且Ｐn＝n！．对于n个不同元素，先规定各元素间有一个标准次序(如n个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序)，于是在这n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说它们构成了一个逆序．一个排列中所有逆序的总和，称为该排列的逆序数，排列的逆序数记作τ()．例如，对排列32514而言，4与5就构成了一个逆

4、序，1与3，2，5也分别构成一个逆序，3与2也构成一个逆序，所以τ(32514)＝５．逆序数的计算法：不失一般性，不妨设n个元素为1至n这n个自然数，并规定由小到大为标准次序，设为这n个自然数的一个排列，自右至左先计算排在最后一位数字的逆序数，等于排在前面且比大的数字的个数，再计算的逆序数，然后把所有数字的逆序数加起来，就是该排列的逆序数．例1计算τ［１　３　５…（２n－１）２　４　６…（２n）］．解从排列１　３　５…（２n－１）２　４　６…（２n）看，前n个数１　３　５…（２n－１）之间没有逆序，后n个数２　４…（２n）之间也没有逆序，只有前后n个数之间才构成逆序．2n最大且排在最后，逆序

5、数为0，2n-2的前面有2n-1比它大，故逆序数为1，2n-4的前面有2n-1、2n-3比它大，故逆序数为2，………………2前面有n-1个数比它大，故逆序数为n-1，因此有τ［１　３　５…（２n－１）２　４　６…（２n）］＝０＋１＋…＋（n－１）＝．逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列．二、对换在排列中，将任意两个元素对调，其余元素保持不动，这种作出新排列的方法叫做对换．将相邻两个元素对换，叫做相邻对换．定理2.1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．证先证相邻对换的情形．设排列为对换a与b，变为显然这时排列中除a,b两数的顺序改变外，其他任意两数和任意一个数与

6、a或b之间的顺序都没有变．当a＞b时，经对换后，a的逆序数不变，b的逆序数减少1；当a＜b时，对换后，a的逆序数增加1，b的逆序数不变，所以新排列与原排列奇偶性不同．再证一般对换的情形．设排列为，对换a与b，变为．可以把它看做将原排列作n次相邻对换变成，再作n+1次相邻对换变成．因此经过2n+1次相邻对换，排列变为．所以这两个排列的奇偶性不同．一、n阶行列式的定义为了给出n阶行列式的定义，我们先研究三阶行列式的定义，三阶行列式的定义为=由定义可看出：(1)上式右边的每一项都是3个元素的乘积，这3个元素位于不同的行、不同的列；且每一项3个元素的第1个下标(行标)依次为123，排成了标准次序，第

7、2个下标(列标)排成了，它是1，2，3这3个数的某一个排列，对应上式右端的6项，恰好等于这3个数排列的种数．因此除了正负号外，右端的每一项都可以写成下列形式：，其中是1，2，3的某一个排列，其项数等于Ｐ３＝３！．(2)项的正、负号与列标排列的逆序数有关．易验证上式右端带正号的项的列下标的排列都是偶排列，带负号的项的列下标的排列都是奇排列．因此各项所带符号由该项列下标的排列的奇偶性所决定，从而各项可表示为综合(