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1、决策理论与方法(2)——优化决策理论与方法合肥工业大学管理学院2021年7月22日确定性决策v确定性决策：指未来状态是确定的（即只有一种状态）一类决策问题，每一个行动方案对应着一个确定的结果值，此时决策函数仅依赖于决策变量。v特点：状态是确定的；决策问题变为优化问题。v决策的已知变量：决策变量及其取值范围v解决问题的主要理论方法：最优化理论与方法v注：最优化理论与方法（数学规划）也可以求解不确定性决策问题、随机性决策问题确定性决策v优化决策方法的问题求解过程辨识目标C，确定优化的标准，如：利润、时
2、间、能量等确定影响决策目标的决策变量x，形成目标函数C=f(x)明确决策变量的取值范围，形成约束函数设计求解算法，寻找决策目标在决策变量所受限制的范围内的极小化或极大化。最优化问题的一般形式为：优化问题分类v可行点与可行域：满足约束条件的x称为可行点，所有可行点的集合称为可行域，记为S；v约束优化与无约束优化：当SÍRn时，称为约束优化；当S=Rn时，称为无约束优化；v多目标优化：若f是多个目标函数构成的一个向量值函数，则称为多目标规划；v线性规划与非线性规划：当f,g,h均为线性函数时称为线性规
3、划，否则称为非线性规划。优化问题分类v整数规划：当决策变量的取值均为整数时称为整数规划；若某些变量取值为整数，而另一些变量取值为实数，则成为混合整数规划。v动态规划与多层规划：若决策是分成多个阶段完成的，前后阶段之间相互影响，则称为动态规划；若决策是分成多个层次完成的，不同层次之间相互影响，则称为多层规划。优化决策理论与方法1、线性规划2、非线性规划（约束和非约束）3、多目标规划4、组合优化与整数规划线性规划—管理实例v(食谱问题)假设市场上有n种不同的食物，第j种食物的单价为cj。人体正常活动过
4、程中需要m种基本的营养成分，且每人每天至少需要摄入第i种营养成分bi个单位。已知第j种食物中包含第i种营养成分的量为aij个单位。问在满足人体基本营养需求的前提下什么样的配食方案最经济？v设食谱中包含第j种食物的量为xj，则：线性规划—标准型线性规划—单纯形算法v解空间分析可行域分析：n维空间；第一象限；m个超平面。最优解分析：在端点(或称为极点。极点向量中，至少有n-m个0分量)处取极值。v单纯形算法的基本思想从某个极点开始获得一个可行解；判断该可行解是不是目标解。若是，算法结束；否则寻找下一个
5、极点（确定入基变量和出基变量），直至找到目标解。线性规划—内点算法v1972年，V.Klee和G.L.Minty指出Dantzig的单纯形算法的迭代次数为O(2n)，是一个指数时间算法，不是优良算法。那么是否存在求解线性规划问题的多项式时间算法？v1984年，N.Karmarkar提出了一种投影尺度算法，其计算效果能够同单纯形法相比较，掀起了线性规划内点算法的热潮。线性规划—内点算法v内点算法的思想已知线性规划问题的可行域是一个多面体，最优点在多面体的某个极点取到。在给定初始可行解后，沿着什么样的
6、路径到达最优解呢？单纯形法是从某个基可行解开始，沿着多面体的边移动最终找到最优解。内点算法的思想是从可行域内的任意一点(任一可行解)出发，穿越可行域的内部达到最优解。N.Karmarkar的投影尺度算法就是一种典型的内点算法。线性规划—内点算法线性规划—内点算法v投影尺度算法如何穿过可行域的内部快速达到最优解呢？Karmarkar发现：(1)如果一个内点位于可行域(多胞形、多面体)的中心，那么目标函数的最速下降方向是比较好的方向；(2)存在一个适当的变换，能够将可行域中给定的内点置于变换后的可行域
7、的中心。基于这两点，Karmarkar构造了一种称为投影尺度算法的内点算法。线性规划—内点算法线性规划—Matlab函数应用vOptimizationToolBoxMinfTxS.t.A·x≤bAeq·x=beqlb≤x≤ub其中：f,x,b,beq,lb和ub均为向量；A和Aeq为矩阵。[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)线性规划—Matlab函数应用v例：maxz=x1+2x2S.t.x1+x2≤402x1+x2≤60x1≥0;x2≥0解：将max变为mi
8、n，min–z=-x1-2x2则：f=[-1;-2];b=[40;60];lb=zeros(2,1);A=[11;21][x,fval]=linprog(f,A,b,[],[],lb)x=[0;40],fval=-80优化决策理论与方法1、线性规划2、非线性规划（约束和非约束）3、多目标规划4、组合优化与整数规划无约束非线性规划—标准型vMinf(x);xÎRnv其中f：Rn→R是一个非线性连续函数。对于任意点x*ÎRn,它是函数f的最小点(或局部极小点)吗？v例如：minf(x)
