课题学习 最短路径.ppt

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1、八年级上册13.4课题学习最短路径问题如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？①②③两点之间,线段最短“两点的所有连线中，线段最短”连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短LABCDEF1、“两点的所有连线中，线段最短”（两点之间，线段最短．）2、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题我们称它们为最短路径问题，现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”--最短路径问题．如图，从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后

2、到B地．那么到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？问题引入BAlB·lA·问题1、已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB的值最小。P连接AB,线段AB与直线L的交点P，则点P就是所求。根据：两点之间线段最短.探索新知C追问1类比问题1,对于问题2，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？探索新知问题2如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线l上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·思考：问题1与问题2的联系与区别分别是什么？追问

3、2你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？探索新知问题2如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线l上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．探索新知问题2如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·B′C探索新知追问3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′C证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′

4、，B′C′．由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′．∴在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．探索新知问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′CC′若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC+BC，就说明AC+BC最小．探索新知B·lA·B′CC′追问4证明AC+BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′（与点C不重合），证明AC+BC＜AC′+BC′？这里的“C′”的

5、作用是什么？探索新知追问5回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？B·lA·B′CC′通过轴对称变换，将直线同侧两点中的一点映射到了另一侧，而不改变路径的总长度，再利用“两点之间，线段最短”使问题得到解决。从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮路线全程最短？将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．B··AlBAl变式探究已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.BCDE分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰

6、好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小变式探究已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求2.如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。作法：1.作点C关于直线OA的对称点点F,2.作点D关于直线OB的对称点点E,3.连接EF分别交直线OA.OB于点G.H，则CG+G

7、H+DH最短S思考：为什么这样确定所走的路程就最短呢？FAOBD··CEGH运用新知变式练习练习　如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径．ABCPQ山河岸大桥思考：运动路径中，哪一段路径是恒定不变的？变式练习基本思路：由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线段PQ为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q在直线BC的同侧，如何在BC上找到一点R，使PR与QR的和最小”．ABCPQ山河岸大桥1、如图1，在L上找一点Q，使

8、AQ-BQ的值最大；2、如图2，在L上找一点Q，使AQ-BQ的值最大；拓展探究AB图1AB图2归纳小结（1）本节课研究问题的基本过程是什么？（2）轴对称在所研究问题中起什么作用？