有趣的数学游戏--三阶幻方.ppt

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1、三阶幻方风子编辑第一课基础部分幻方起源：大约两千多年前西汉时代，流传夏禹治水时，黄河中跃出一匹神马，马背上驮着一幅图，人称「河图」；又洛水河中浮出一只神龟，龟背上有一张象征吉祥的图案称为「洛书」.他们发现，这个图案每一列，每一行及对角线，加起来的数字和都是一样的。中国不仅拥有幻方的发明权，而且是对幻方进行深入研究的国家。公元13世纪的数学家杨辉已经编制出3－10阶幻方。幻方的发展：经过国内外幻方数学家和爱好者的研究，幻方得到了快速的发展。从最初的三阶幻方发展到现在的高阶幻方，由和幻方发展到乘幻方。对平面幻方的构造，分为三种情况：N为奇数、N为4的倍数、N为其

2、它偶数(4n+2的形式）。清末民初数学家寿孝天三阶幻方：就是将9个自然数填在3×3（三行三列）的正方形内，使每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数的和都相等。例1：（p.45例1）将1-9这9个数填入上图，使它成为一个三阶幻方。动动手：p.45随堂1幻和与中央数：一个幻方的幻和=3×中央数=总和÷3例1：（p.46例3）动动手：p.46随堂3已知三个数填写幻方例1：（p.47例4）动动手：p.47随堂4ABCDEFGHI对九宫格每个格子进行编号为A-I，设S=A+B+C+D+E+F+G+H+I，即九个数的和。定义：幻和=A+B+C=D+E+F=G+H+I=

3、A+D+G=B+E+H=C+F+I=A+E+I=C+E+G，即每条横、竖、斜线上的三个数的和相等，为幻和。3×幻和=（A+B+C）+（D+E+F）+（G+H+I）=S，即幻和是总和的1/3。D+E+F=B+E+H=A+E+I=C+E+G，即4×幻和=A+B+C+D+E+F+G+H+I+3E=3×幻和+3E所以，3E=幻和，即E是幻和的1/3，是总和的1/9S=（A+B+C）+（A+E+I）+（A+D+G）=（A+B+C）+（D+E+F）+（G+H+I）所以，2A=F+H同理可得：2G=B+F，2I=B+D，2C=D+HABCDEF8GH例：在下图空格上填上互

4、不相等,且不大于15的自然数，使每行、每例、对角线上的和为30。71112151058913为方便表述，对每个空格编号为A-H。1、根据中心数是幻和的1/3，可得到E=102、根据幻和为30，可知C=30-10-8=123、根据A+H=B+G=D+F=20,且每个数不大于15，则最小为5。符合条件的数对还有四对：｛5,15｝、｛6,14｝、｛7,13｝、｛9,11｝，只有一堆为偶数。4、选｛6、14｝放入任何格对中，因为偶数+偶数+偶数=偶数，但剩下的数都是奇数，所以不符合。5、选择包含最大数的一对｛5，15｝，如果15与12在同一行或列，则这行或列的另一个

5、数为3，小于5。所以，15不能与12在同一行或列，因此放在D格。对应的F格则为5。6、剩下的空格就很容易了。61212104814?19132倍角格=不相邻的两个边格之和？=（13+19）÷2=16三条直线上的数字的和=幻方所有数字之和+2个？-（19+13）幻和=一条直线上的三个数字之和所有数字之和=3×幻和所以：三条直线上的数字的和=幻方所有数字之和则：？=（13+19）÷21030103030103010305305530530原先每条边的和为：30+10+10=50新的填法每条边的和为：50+15=65总和减少，每边和增加，则应该把大数移到公共角的位

6、置则有：30+10+30=7070-65=5所以，四个10各减5，合计正好减了20.223026223026223026223026302622262230三组｛22，26，30｝，为等差数列，所以先把中间数放中间；以中间格为中心，画四条直线；在一条对角线上放与中间格相同的数，另一条对角线上放两个不同的数；剩下四个位置只要保证同一行或列上没有重复的数字。3105864729利用角格是不相邻的两个边数和的一半，可以得到右下角方格的数字；其次利用红线和相等关系，知道下中间的数为2；利用蓝线和相等，得到中右格数为4。利用幻和=3×中间数3×幻和=所有数，可知中间那

7、个数为6。这样其他几个利用幻和可以得到了。101589111314712本题与上体方法一样，自己尝试下501204102551002先在两条蓝线上确定左下角的数：1×10÷2=5，在两条线段上的公共格不用考虑；再找有两个确定数的线段，通过未知角画出另外的线段，如图红线，则可知左中格为：2×10÷5=4，右上格为：2×10÷1=20。利用一条对角线上的三个数的积5×10×20=1000，可以得到其它几个数。2025608064016040320101280三个数相乘的幻方的属性：1、等差数列或者三组等差数列：找一个包含10的等差数列（如图）或者：｛1、2、4｝

8、、｛5、10、20｝、｛25、50、100｝2、角格