圆的证明与计算(精编版).docx

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1、《圆的证明与计算》专题讲解圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题,此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响,所以解决好此题比较关键。圆的有关证明一、圆中的重要定理:(1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆.(2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等.(3)三者之间的关系定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等.(4)圆周角性质定理及其推轮:主要是用来证明——直角、角相等、弧相等.(5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系.(6)切线的判定定理:主要是用来

2、证明直线是圆的切线.(7)切线长定理:线段相等、垂直关系、角相等.2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.二、考题形式分析:主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线;第2问主要是与圆有关的计算:①求线段长(或面积);②求线段比;③求角度的三角函数值(实质还是求线段比)。知识点一:判定切线的方法:(1)若切点明确,则“连半径,证垂直”。常见手法有:全等转化;平行转化;直径转化;中线转化等;有时可通过计算结合相似、勾股定理证

3、垂直;(2)若切点不明确,则“作垂直,证半径”。常见手法:角平分线定理;等腰三角形三线合一,隐藏角平分线;总而言之,要完成两个层次的证明:①直线所垂直的是圆的半径(过圆上一点);②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例:方法一:若直线l过⊙O上某一点A,证明l是⊙O的切线,只需连OA,证明OA⊥l就行了,简称“连半径,证垂直”,难点在于如何证明两线垂直.例1如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC

4、于D,交AC于E,B为切点的切线交OD延长线于F.求证:EF与⊙O相切.例2如图,AD是∠BAC的平分线,P为BC延长线上一点,且PA=PD.求证:PA与⊙O相切.证明一:作直径AE,连结EC.∵AD是∠BAC的平分线,∴∠DAB=∠DAC.∵PA=PD,∴∠2=∠1+∠DAC.∵∠2=∠B+∠DAB,∴∠1=∠B.又∵∠B=∠E,∴∠1=∠E∵AE是⊙O的直径,∴AC⊥EC,∠E+∠EAC=900.∴∠1+∠EAC=900.即OA⊥PA.∴PA与⊙O相切.证明二:延长AD交⊙O于E,连结OA,OE.

5、⌒⌒∵AD是∠BAC的平分线,∴BE=CE,∴OE⊥BC.∴∠E+∠BDE=900.∵OA=OE,∴∠E=∠1.∵PA=PD,∴∠PAD=∠PDA.又∵∠PDA=∠BDE,∴∠1+∠PAD=900即OA⊥PA.∴PA与⊙O相切说明:此题是通过证明两角互余,证明垂直的,解题中要注意知识的综合运用.例3如图,AB=AC,AB是⊙O的直径,⊙O交BC于D,DM⊥AC于M求证:DM与⊙O相切.例4如图,已知:AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,且∠CAB=300,BD=OB,D在AB的延长线上.求证:DC是⊙O的

6、切线例5如图,AB是⊙O的直径,CD⊥AB,且OA2=OD·OP.求证:PC是⊙O的切线.例6如图,ABCD是正方形,G是BC延长线上一点,AG交BD于E,交CD于F.求证:CE与△CFG的外接圆相切.分析:此题图上没有画出△CFG的外接圆,但△CFG是直角三角形,圆心在斜边FG的中点,为此我们取FG的中点O,连结OC,证明CE⊥OC即可得解.证明:取FG中点O,连结OC.∵ABCD是正方形,∴BC⊥CD,△CFG是Rt△∵O是FG的中点,∴O是Rt△CFG的外心.∵OC=OG,∴∠3=∠G,∵AD∥

7、BC,∴∠G=∠4.∵AD=CD,DE=DE,∠ADE=∠CDE=450,∴△ADE≌△CDE(SAS)∴∠4=∠1,∠1=∠3.∵∠2+∠3=900,∴∠1+∠2=900.即CE⊥OC.∴CE与△CFG的外接圆相切方法二:若直线l与⊙O没有已知的公共点,又要证明l是⊙O的切线,只需作OA⊥l,A为垂足,证明OA是⊙O的半径就行了,简称:“作垂直;证半径”(一般用于函数与几何综合题)例1:如图,AB=AC,D为BC中点,⊙D与AB切于E点.求证:AC与⊙D相切.分析:说明:证明一是通过证明三角形全等证

8、明DF=DE的,证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的,这类习题多数与角平分线有关.例2:已知:如图,AC,BD与⊙O切于A、B,且AC∥BD,若∠COD=900.求证:CD是⊙O的切线.证明一:连结OA,OB,作OE⊥CD,E为垂足.∵AC,BD与⊙O相切,∴AC⊥OA,BD⊥OB.∵AC∥BD,∴∠1+∠2+∠3+∠4=1800.O∵∠COD=900,∴∠2+∠3=900,∠1+∠4=900.∵∠4+∠5=900.∴∠1=∠5.∴Rt△AOC∽R

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