高中数学第二章平面上的柯西不等式的代数和向量形式导学案新人教B版.docx

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1、2.1.1　平面上的柯西不等式的代数和向量形式1.认识并理解平面上的柯西不等式的代数和向量形式，以及定理3、定理4、定理5等几种不同形式，理解它们的几何意义.2.会用柯西不等的代数形式和向量形式以及定理3、定理4、定理5，证明比较简单的不等式，会求某些函数的最值.自学导引1.若a1，a2，b1，b2∈R，则(a＋a)(b＋b)≥(a1b1＋a2b2)2，等号成立⇔a1b2＝a2b1.2.设α，β为平面上的两个向量，则

2、α

3、

4、β

5、≥

6、α·β

7、，等号成立⇔α与β共线⇔α＝λβ(λ≠0)；

8、α

9、＋

10、β

11、≥

12、α＋β

13、，等号成立的条件为〈α，

14、β〉＝0或α与β同向或α＝λβ(λ>0).3.设a1，a2，b1，b2为实数，则＋≥，等号成立⇔存在非负实数μ及λ，使得μa1＝λb1，μa2＝λb2.4.设平面上三点坐标为A(a1，a2)、B(b1，b2)、C(c1，c2)，则＋≥，其几何意义为：

15、AB

16、＋

17、BC

18、≥

19、AC

20、.5.设α，β，γ为平面向量，则

21、α－β

22、＋

23、β－γ

24、≥

25、α－γ

26、，等号成立的充要条件为α－β＝λ(β－γ)__(λ>0).基础自测1.已知a，b∈R*且a＋b＝1，则P＝(ax＋by)2与Q＝ax2＋by2的关系是(　　)A.P≤QB.P

27、>Q解析　P＝(ax＋by)2＝[(x)＋(y)]2≤(ax2＋by2)(a＋b)＝ax2＋by2＝Q∴P≤Q，选A.8答案　A2.下列说法：①二维形式的柯西不等式中a，b，c，d没有取值限制.②二维形式的柯西不等式中a，b，c，d只能取数，不能为代数式.③柯西不等式的向量式中取等号的条件是α＝β.④柯西不等式只能应用于证明不等式或求最值.其中正确的个数有(　　)A.1个B.2个C.3个D.4个解析　由柯西不等式的概念知，只①正确，a，b，c，d是实数，没有其取值限制.答案　A3.设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝

28、5，则的最小值为________.解析　运用柯西不等式求解.根据柯西不等式(ma＋nb)2≤(a2＋b2)(m2＋n2)，得25≤5(m2＋n2)，m2＋n2≥5，的最小值为.答案　知识点1　利用柯西不等式证明不等式【例1】已知3x2＋2y2≤6，求证：2x＋y≤.证明　由于2x＋y＝(x)＋(y).由柯西不等式(a1b1＋a2b2)2≤(a＋a)(b＋b)得(2x＋y)2≤(3x2＋2y2)≤×6＝×6＝11，∴

29、2x＋y

30、≤，∴2x＋y≤.●反思感悟：柯西不等式(a＋a)(b＋b)≥(a1b1＋a2b2)2⇔≥

31、a1b1＋a2b

32、2

33、，应用时关键是对已知条件的变形.81.已知a，b，c，d∈R，x>0，y>0，且x2＝a2＋b2，y2＝c2＋d2，求证：xy≥ac＋bd.证明　由柯西不等式知：ac＋bd≤＝·＝xy.∴xy≥ac＋bd.【例2】(二维形式的三角不等式)设x1，y1，x2，y2∈R，用代数的方法证明＋≥.证明　(＋)2＝x＋y＋2＋x＋y≥x＋y＋2

34、x1x2＋y1y2

35、＋x＋y≥x＋y－2(x1x2＋y1y2)＋x＋y＝x－2x1x2＋x＋y－2y1y2＋y＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2∴＋≥●反思感悟：在平面中设α＝(x1，y1)，β

36、＝(x2，y2)，则α±β＝(x1±x2，y1±y2)由向量加法的三角形法则知：

37、α

38、＋

39、β

40、≥

41、α＋β

42、⇔＋≥，由向量减法的几何意义知：

43、α

44、＋

45、β

46、≥

47、α－β

48、⇔＋≥.2.利用柯西不等式证明：≥.证明　＝≤(a2＋b2)＝.知识点2　利用柯西不等式求函数的最值【例3】求函数y＝5＋的最大值.解　函数的定义域为{x

49、1≤x≤5}.y＝5＋≤＝×2＝6当且仅当5＝即x＝时取等号，故函数的最大值为6.●反思感悟：8解题的关键是对函数解析式进行变形，使形式上适合应用柯西不等式，还要注意求出使函数取得最值时的自变量的值.3.已知x＋y＝1

50、，求2x2＋3y2的最小值.解　2x2＋3y2＝[(x)2＋(y)2]×≥＝(x＋y)2＝.课堂小结1.二维形式的柯西不等式(a＋a)(b＋b)≥(a1b1＋a2b2)2当且仅当a1b2＝a2b1时等号成立.2.推论：(1)(a＋b)·(c＋d)≥(＋)2；(2)·≥

51、a1b1＋a2b2

52、；(3)·≥

53、a1b1

54、＋

55、a2b2

56、.3.柯西不等式的向量形式

57、α·β

58、≤

59、α

60、

61、β

62、.当且仅当存在实数λ≠0，使α＝λβ时等号成立.4.二维形式的三角不等式(1)＋≥(或＋≥)；(2)＋≥.随堂演练1.写出空间直角坐标系中柯西不等式的代数形式.

63、解　(a＋a＋a)(b＋b＋b)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).当且仅当＝＝时等号成立.2.写出空间代数形式的三角不等式.解　有两种形式分别对应定理3、定理4.定理3为＋≥8定理4为＋≥