椭圆的简单几何性质 (2).doc

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1、椭圆的简单几何性质《椭圆的简单几何性质》是同学们学习圆锥曲线的主要内容，学习这节同学们主要应该注意掌握好三个知识点：一是椭圆有关的简单几何性质，这是学习椭圆的基本知识；二是椭圆的第二定义；三是椭圆的参数方程.下面，我们就这三个知识点的内容分别提醒同学们应该弄清的问题.一、要掌握椭圆的简单的几何性质，这是学习椭圆的基础知识（以为例）。同学们在上一节学习了椭圆的标准方程等关于椭圆的基础知识，要学习好椭圆还必须学好椭圆的几何性质，主要有：1．椭圆的范围在椭圆上的点的坐标均满足，，[来源:Zxxk.Com]∴椭圆位于直线和所围成的矩形里。研究曲线的几何性质，首先

2、要研究曲线所在的位置，而研究曲线的范围就是研究曲线上点的横、纵坐标的范围，从而确定曲线的位置，便于画曲线的图像和研究曲线的其它性质。2．椭圆的对称性在椭圆的方程（）中，以代方程不变，说明当点在椭圆上时，它关于轴的对称点也在椭圆上，所以椭圆关于轴对称。同理，以代方程不变，说明椭圆关于轴对称；同时以代，以代方程不变，说明椭圆关于原点对称。椭圆关于轴、轴、原点都对称，所以坐标轴是椭圆的对称轴，坐标原点是椭圆的对称中心（也称为椭圆的中心）。说明：应掌握判断一条曲线是否关于轴、轴、原点对称的方法。3．椭圆的顶点椭圆的顶点就是椭圆和它的对称轴的交点，故椭圆有4个顶点

3、为，，，。4．椭圆的长轴、短轴[来源:学科网ZXXK]线段叫椭圆的长轴，其长度为，线段叫椭圆的短轴，其长度为，，分别叫椭圆的长半轴长和短半轴长。学习椭圆的长轴、短轴时应注意：①明确椭圆方程中，，的几何意义，是长半轴，是短半轴长，由，可得“已知椭圆的四个顶点，求焦点”的几何作法，只要以短轴的端点（或）为圆心，为半径，作弧交长轴于两点，这两点就是焦点；②椭圆短轴的端点与焦点之间的距离等于长半轴。5．椭圆的离心率椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，离心率通常用字母表示，即，∵，∴椭圆离心率的范围是。学习椭圆的离心率，应注意以下几点：①椭圆的离心率是椭圆的本

4、质属性之一，只与椭圆的形状有关，与椭圆的大小、位置无关。[来源:Z*xx*k.Com]②离心率的大小反映了椭圆的扁圆程度，越接近1则越接近，从而越小，因此椭圆就越扁；反之，越接近于0。就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形这时就变为圆。注意圆不是椭圆的特例，因为椭圆中有条件。③椭圆离心率的计算公式。二、掌握椭圆的第二定义平面内与一个定点F的距离和一条定直线的距离之比为常数（）的点的轨迹是椭圆。定点F就是椭圆的焦点，定直线就是椭圆的准线，常数就是椭圆的离心率。由于椭圆有两个焦点，所以相应地准线有两条。椭圆的第二

5、定义是针对第一定义来讲的，它反映了椭圆准线的性质，也是对离心率的另一种诠释。在学习第二定义时，应注意以下几点：①由椭圆的第二定义知，椭圆上任意一点到焦点的距离与到相应准线的距离之比都等于离心率，要特别注意“相应”二字；[来源:学

6、科

7、网Z

8、X

9、X

10、K]②定点F（焦点）必须在直线（相应准线）外；③比值必须小于1；④符合椭圆第二定义的动点轨迹肯定是椭圆，但它不一定具有标准方程形式；⑤两种距离比的顺序：（为P与F两点间距离，为点到直线的距离）以及两种距离之间的相互转化：，由此可推导出一个经常要用到的公式——椭圆的焦半径公式。⑥熟悉准线与其他几何元素间的关系：如

11、中心到准线的距离为；两准线间的距离为；焦点到相应准线间的距离为；焦点到相对准线的距离为；长轴顶点到相应准线间的距离为；长轴顶点到相对准线的距离为。三、椭圆的参数方程在椭圆（）中，令，得，这就是椭圆的参数方程，其中为参数。学习椭圆的参数方程时，应注意以下几点：①参数的几何意义是椭圆上点P对应的参数应是，而不是；②椭圆的参数方程，实质上就是三角代换。常用来解决椭圆中有关最值问题。③椭圆的参数方程，是表示椭圆的又一种方程，它是相对于直接给出曲线上动点的坐标，的关系的普通方程而说的，是一种通过第三个变量间接表示，之间关系的形式；④在得到的椭圆的参数方程中，表示椭

12、圆的长半轴长，表示椭圆的短半轴长，参数的几何意义是离心率，但应注意不表示椭圆上动点与原点所成直线的倾斜角。对于一个确定的椭圆，不论怎样建立坐标系，都不等改变椭圆的范围、对称性、顶点、长轴长、短轴长、离心率、焦距等，也就是说这些是椭圆固有的性质。