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《一元二次方程的根与系数的关系.2.4 一元二次方程根与系数的关系 课件 （共25张PPT）.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、一元二次方程根与系数的关系卢峰镇中学姚本华1.一元二次方程的解法2.求根公式复习提问数学活动一一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式：X=(b2-4ac≥0)1.填表，观察、猜想数学活动二方程x1,,x2x1,+x2x1.x2x2-2x+1=01,121x2+3x-10=02,-5-3-10x2+5x+4=0-1,-4-54问题：你发现什么规律？①用语言叙述你发现的规律；②x2+px+q=0的两根x1,,x2用式子表示你发现的规律。根与系数关系如果关于x的方程的两根是,,则:如果方程二次项系数不为1呢?数学活动三方程x1,,x2x1,+x2x1.x22x2-3x-2=0
2、3x2-4x+1=0问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律；①用语言叙述发现的规律；②ax2+bx+c=0的两根x1,,x2用式子表示你发现的规律：一元二次方程的根与系数的关系：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是X1,X2,那么X1+x2=,X1x2=-（韦达定理）注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0韦达（1540－1603）韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一。第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进。 他生于法国的普瓦图。年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究，
3、第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。 韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”。一元二次方程根与系数关系的证明：X1+x2=+==-X1x2=●===1、x2-2x-1=02、2x2-3x+=03、2x2-6x=04、3x2=4x1+x2=2x1x2=-1x1+x2=x1+x2=3x1+x2=0x1x2=x1x2=0x1x2=-示例典型题讲解：例1、已知3x2+2x-9=0的两根是x1,x2。求：(1)(2)x1
4、2+x22解：由题意可知x1+x2=-,x1·x2=-3(1)===(2)∵(x1＋x2)2＝x12+x22＋2x1x2∴x12+x22＝(x1＋x2)2-2x1x2＝(-)2-2×(-3)＝6变式练习： 设x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值。（2）（1）（３）（x1-x2）2典型题讲解：例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值。解：设方程的另一个根为x1.把x=2代入方程，得4-2(k+1)+3k=0解这方程，得k=-2由根与系数关系，得x1●2＝3k即2x1＝－6∴x1＝－3答：方程的另一个根是－
5、3,k的值是－2。试一试1、已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。2、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。解：设方程的另一个根为x1,则x1+1=,∴x1=,又x1●1=,∴m=3x1=16解：由根与系数的关系，得x1+x2=-2,x1·x2=∴(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=-2+()+1=练习1已知关于x的方程当m=时,此方程的两根互为相反数.当m=时,此方程的两根互为倒数.－11分析:1.2.练习:2.以2和－３为根的一元二次方程（二次项系数为１）为：练习3已知两个数的和是1，积是
6、-2，则两个数是。2和-1解法(一):设两数分别为x,y则:{解得:x=2y=－1{或ｘ＝－1y=2{解法(二):设两数分别为一个一元二次方程的两根则:求得∴两数为2,－１已知两个数的和与积，求两数练习4已知方程 的两个实数根是且求k的值。解：由根与系数的关系得X1+X2=-k，X1×X2=k+2又X12+X22=4即(X1+X2)2-2X1X2=4K2-2(k+2）=4K2-2k-8=0∵△=K2-4k-8当k=4时，△＜0当k=-2时，△＞0∴k=-2解得：k=4或k=－2拓广探索1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。解：设方程两根分别
7、为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1∵(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2由根与系数的关系得x1+x2=,x1x2=∴解得k1=9,k2=-3当k=9或-3时，由于△≥0，∴k的值为9或-3。2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值。拓广探索解：由方程有两个实数根，得即-8k+4≥0由根与系数的关系得x1+x2=2(k-1),x1x2=k2∴X12+x22=(x1+x2)2-2x1x
