微积分和应用第二章习题解答.doc

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1、.练习2.11对于任意正数，分析当n（或x）满足什么条件时下列不等成立.（1）；（2）.解：（1）因若要，即只需就能满足条件。（2）若要只需.2设，求，，.解∵∴不存在。∵∴∵∴不存在.3指出下列函数在什么极限变量过程中是无穷小，在什么极限变量过程中是无穷大.（1）；（2）；（3）解：（1）易见故或时，函数为无穷小.....故时，函数为无穷大.（2）易见故，时函数为无穷小.（3）故时函数为无穷小.4说明当时不是无穷大.解不是无穷大.易见令但是习题2.21计算下列函数在点处的左右极限与极限.解由于

2、故不存在.2计算下列极限.（1）；（2）；解（1）由于对任意有故又由于故有....（2）易见且故3证明的极限存在，并求.证明先证明数列有界.用数学归纳法证明.当n=1时，假设当n=k时结论成立，即则当n=k+1时，即证数列有界.下证数列单调.用数学归纳法证明.当n=1时，由于则假设当n=k时结论成立，即则当n=k+1时，即证对所有的n数列都是单调的，由单调有界数列必收敛，可知存在，不妨设为A.对两端求极限，可得即解方程得或（舍去），故习题2.31计算下列极限.....（1）；（2）；（3）；（4

3、）.解（1）由于故（2）由于故（3）由于故2计算下列极限.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；....（7）；（8）；（9），其中；（10）.解（1）由于是个有界量，故（2）由于（3）（4）（5）（6）只需计算且由等价无穷小代换知当则故（7）....（8）令则且故(9)由于故（10）3计算下列极限.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；(7).解（1）当利用无穷小代换可知....（2）当故极限不存在.（3）当且则（4）（5）当则（6）当则（7）当则4根据极限等式确定其中参数

4、.（1），求A，k；（2），求a，b；....（3）若，求a；（4）若，求a，b；（5），求a，b；（6），求a，b；（7），求a，b.解（1）则即再代入上式可得（2）由于所以即（3）由于故即(4)由于所以即故（5）由于解得代入原式得....解得（6）由于.5根据等价无穷小关系确定参数.（1）当时，，求a.（2）当时，，求k.（3）当时，，求.（4）当时，，求k.解（1）由于时，故(2)当(3)当时,故(4)当时,故习题2.4....1利用函数连续性确定参数.（1）在处连续，求A.（2）已知函数

5、连续，求参数k.（3）在上连续，求a.（4）已知函数连续，求参数a, b.解(1)要使在处连续，则又由于从而(2)由于是个分段函数，要使连续，只需证明在处连续，即又由于故(3)由于是个分段函数，要使连续，只需证明在处连续，即又由于故....(4)由于是个分段函数，要使连续，只需证明在处连续，即又由于故2寻找下列函数的可去间断点，并修改或补充间断点处函数值使其连续.（1）；（2）；（3）；（4）.解(1)易见仅在处无定义，故为函数的间断点，且则为可去间断点，故只需令，则在处连续.(2)由于且由于在

6、处极限不存在，故不是可去间断点；由于在处故是函数的可去间断点，可令即可使函数在处连续,由于在处极限不存在，故不是可去间断点.....(3)由于，函数仅在处没有定义，且故只需令即可使函数在处连续.(4)由于，函数仅在处没有定义，且故只需令即可使函数在处连续.3计算下列极限：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；解(1)(2)令则则(3)....(4)(5)(6)(7)4证明方程有非零根.证明，令易见在区间上连续，且则由根值存在定理可知存在使得即证方程有非零根5证明方程至少有一个正

7、根.证明令易见在区间上连续，且则由根值存在定理可知存在使得即证方程至少有一个正根.复习题二1已知，证明.....证明：由于，即对任给的当时，有则对上面给定的当时，有即证.2设，在极限过程下，当a, b为何值时为无穷小？a, b为何值时为无穷大？解由于要使当且仅当要使当且仅当？？？？3*设，，，计算.4设，计算.解由于，从而则且由夹逼准则可得5计算下列极限：....（1）；（2）；(3)*；(4)*；（5）；（6）；（7）；（8）；(9)*；（10）.解(1)由于对任意的都有,即时为有界量，(2)

8、由于对任意的都有为有界量，故(3)由于对任意的都有为有界量,则从而....(4)(5)(6)由于且当为有界量，则从而太难（7）由于极限是个型，由罗必塔法则可得....（8）(9)*（10）由于极限是个型，由罗必塔法则可得6已知，求.解由题意可得....从而可得7已知，求c.解由于则8设，求.解由可得当时则9讨论下列函数的连续性，若函数有间断点，指出间断点类型.（1）；（2）.解（1）当时当时即易见故是跳跃间断点，且故函数在时连续.解（2）当时，当时，....即易见为函数的分段点，但则函数在时连续