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时间:2020-03-08
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1、马路小学专用二次函数知识点一、二次函数概念:1.二次函数的概念:一般地,形如(是常数,)的函数,叫做二次函数。这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数,而可以为零.二次函数的定义域是全体实数.2.二次函数的结构特征:⑴等号左边是函数,右边是关于自变量的二次式,的最高次数是2.⑵是常数,是二次项系数,是一次项系数,是常数项.二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式:的性质:a的绝对值越大,抛物线的开口越小。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时,有最小值.向下轴时,随的
2、增大而减小;时,随的增大而增大;时,有最大值.2.的性质:的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时,有最小值.向下轴时,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有最大值.3.的性质:左加右减。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时,有最小值.向下X=h时,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有最大值.4.的性质:的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时,有最小值.向下X=h时,随的增
3、大而减小;时,随的增大而增大;时,有最大值.5三、二次函数对称性的应用1.二次函数图象上两点,如果纵坐标相等,那么这两点一定关于对称轴对称(两点到对称轴等距离),反之也成立。2.是抛物线上两点,则对称轴是。3.开口向上时,两个点离对称轴越远,纵坐标越大;开口向下时,两个点离对称轴越近纵坐标越大。四、二次函数图象的平移1.平移步骤:方法一:⑴将抛物线解析式转化成顶点式,确定其顶点坐标;⑵保持抛物线的形状不变,将其顶点平移到处,具体平移方法如下:2.平移规律------概括成八个字“左加右减,上加下减”.方法二:⑴沿轴
4、平移:向上(下)平移个单位,变成(或)⑵沿x轴平移:向左(右)平移个单位,变成(或)五、二次函数与的比较从解析式上看,与是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即,其中.六、二次函数图象的画法五点绘图法:利用配方法将二次函数化为顶点式,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点,(若与轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与轴的交点,与轴的交点.七、二次
5、函数的性质1.当时,抛物线开口向上,对称轴为,顶点坐标为.当时,随的增大而减小;当时,随的增大而增大;当时,5有最小值.2.当时,抛物线开口向下,对称轴为,顶点坐标为.当时,随的增大而增大;当时,随的增大而减小;当时,有最大值.八、二次函数解析式的表示方法1.一般式:(,,为常数,);2.顶点式:(,,为常数,);3.两根式:(,,是抛物线与轴两交点的横坐标)。是抛物线上两点,则对称轴是,顶点横坐标是。注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与轴有交点,即
6、时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.九、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数二次函数中,作为二次项系数,显然.⑴当时,抛物线开口向上,的值越大,开口越小,反之的值越小,开口越大;⑵当时,抛物线开口向下,的值越小,开口越小,反之的值越大,开口越大.总结起来,决定了抛物线开口的大小和方向,的正负决定开口方向,的大小决定开口的大小.2.一次项系数在二次项系数确定的前提下,决定了抛物线的对称轴.总结:3.常数项⑴当时,抛物线与轴的交点在轴上方,即抛物线与轴交点的纵坐标为正;
7、⑵当时,抛物线与轴的交点为坐标原点,即抛物线与轴交点的纵坐标为;⑶当时,抛物线与轴的交点在轴下方,即抛物线与轴交点的纵坐标为负.总结起来,决定了抛物线与轴交点的位置.总之,只要都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.二次函数解析式的确定:根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况:1.已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;2.已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;3.已知抛物线与轴的两
8、个交点的横坐标,一般选用两根式;4.已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式.十、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达1.关于轴对称关于轴对称后,得到的解析式是;关于轴对称后,得到的解析式是;2.关于轴对称关于轴对称后,得到的解析式是;关于轴对称后,得到的解析式是;53.关于原点对称关于原点对称后,得到的解析式是;关
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