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1、二分图匹配Bi-partitegraph二分图的定义：二分图是这样的一个图，它的顶点可以分为两个集合X和Y。所有的边关联的两个顶点中，恰好一个属于集合X，一个属于集合Y。123456二分图的匹配：给定一个二分图G，M为G边集的一个子集，如果M满足当中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。二分图的最大匹配定义：图中包含边数最多的匹配称为图的最大匹配。如右图所示：蓝色部分就构成一个最大匹配，同时它也是一个完美匹配完美匹配：如果所有点都在匹配边上，称这个最大匹配是完美匹配。二分图的最大匹配匈牙利算法（时间复杂度O(nm)）其思想是用宽度优先搜索来找增广路径（和floodfill算法类
2、似转化为单位容量简单网络的最大流问题在二分图的基础上，加入源点s和汇点t，让s与每个X结点连一条边，每个Y结点和t连一条边，所有弧的容量为1。这样，饱和弧就对应着匹配边。二分图的最大匹配匈牙利算法：寻找增广路：初始时最大匹配为空 for二分图左半边的每个点i do从点i出发寻找增广路径如果找到，则把它取反（即增加了总了匹配数）。看一道例题：PKU1469PKU1469一共有N个学生跟P门课程,一个学生可以任意选一门或多门课,问是否达成:1.每个学生代表的都是不同的课（如果一个学生选修的那门课，那么他就可以代表这门课）2.每门课都有一个代表PKU1469输入为:PN(课程数跟学生数)接着
3、有P行,格式为Countstudentistudenti+1……studentcount(Count表示对课程1感兴趣的学生数,接着有Count个学生)如第一行212表示学生1跟学生2对课程1感兴趣输出为:若每门课都能找到一位代表则输出”YES”,否则为”NO”PKU1469假如有三个学生跟三门课程,学生1,2,3.为了跟学生区分,假设3个课程为4,5,6左边节点是学生,右边节点是课程,下图表示,学生1对课程4,5感兴趣,学生2对课程5,6感兴趣,学生3对课程6感兴趣123456于是问题就变为在二分图中寻找最大匹配,只要这个最大匹配大于或等于课程数P,那么就达到要求了.寻找最大匹配的匈牙利算
4、法流程首先我们先看节点1,寻找下一条边,假设找到节点5,因为1跟5都还没匹配,所以找到一个匹配.标记,xM[1]=5,yM[5]=1;123456假如我们用xM数组表示左边节点对其右边节点的匹配,yM表示右边节点对其左边节点的匹配,初始化为-1;现在重点看节点3,当寻找下一条边时,如图中的蓝边,我们发现节点6的yM[6]=2;已经匹配了.此时我们就转到节点6的匹配点2上去,发现节点2的另一条边2->5中节点5也已经匹配了,yM[5]=1;继续转到节点1,发现节点1的边1->4中节点4还没匹配.于是我们找到了一个增广路径增广路如图中箭头所示123456把图中红色线去掉蓝色线加上12345612
5、3456找到一个更好的匹配更改各自的匹配点总结所以流程就是:1,对于一个未匹配的节点u,寻找它的每条边,如果它的边上的另一个节点v还没匹配则表明找到了一个匹配,直接转步骤4;2,假如节点u它边上的另一个节点v已经匹配,那么就转向跟v匹配的节点,假设是w,然后再对w重复1,2的步骤,即寻找增广路.3,假如我们在1,2步过程中找到一条增广路,那么修改各自对应的匹配点,转步骤4,若无增广路,则退出.4,匹配数+1;最小点覆盖最小覆盖：最小覆盖要求用最少的点（Ｘ集合或Ｙ集合的都行）让每条边都至少和其中一个点关联。可以证明：最少的点（即覆盖数）＝最大匹配数M简单的证明如下：（1）M个是足够的。只需要让
6、它们覆盖最大匹配的M条边，则其它边一定被覆盖（如果有边e不被覆盖，把e加入后得到一个更大的匹配）（2）M个是必需的，仅考虑形成最大匹配的这M条边，由于它们两两之间没有公共点，因此至少需要M个点才可以把它们覆盖PKU3041:(类似的有PKU3020)问题:假如你现在正处在一个N*N的矩阵中,这个矩阵里面有K个障碍物,你拥有一把武器,一发弹药一次能消灭一行或一列的障碍物,求最小的弹药消灭全部障碍物输入为:NK接下来有K行,每行包含障碍物的坐标,即r行c列;如:3411132232输出为:花费最小的弹药数PKU3041对于上面那个数据我们可以用下面的表示,0表示无障碍物,1表示有;1010100
7、10首先,我们利用行跟列做二分图:123123行列如果第i行的第j列有障碍物,则在图中左边的i行连一条边到右边的j列,上面的数据就对应左图于是问题就转化成最小点覆盖的问题.求最大匹配即可.PKU2226现在我们看一道构图比较复杂的题：PKU2226DAG图的最小路径覆盖用尽量少的不相交简单路径覆盖有向无环(DAG)G的所有顶点，这就是DAG图的最小路径覆盖问题。解决此类问题可以建立一个二分图模型。把所有顶点i
