离散数学 教学课件 作者 刘贵龙 第二章.ppt

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1、第二章二元关系本章讨论的关系是我们通常的诸如大小关系、整除关系、上下级等关系的共同的数学模型，掌握关系运算极其关系运算的性质、实际意义.深入理解关系、关系图、关系矩阵之间的联系，熟练地掌握两类特殊的关系—等价关系与偏序关系；熟练地用Warshall算法求关系的传递闭包；理解映射的意义，本章为第三、六、七章的基础.返回首页8/29/20211第一节序偶与笛卡尔积本节是通过n元有序组的概念来定义序偶与笛卡尔积的概念，主要讨论两个集合的笛卡尔积，它是讨论二元关系的基础.得出笛卡尔积的一些最基本的结论.返回本章首页8/29/20212第二节关系的概念本节在笛卡尔积的

2、基础上给出二元关系定义,并推广成n元关系,不过我们以讨论二元关系为主.主要内容为:1.一些特殊的关系,如空关系、恒等关系、全关系;2.关系的运算,如关系的并、交、补、差、对称差极其运算规律;3.有限集合上的二元关系的两种表示方法(即关系矩阵与关系图),4.为了用关系矩阵来研究关系,我们定义了布尔矩阵的概念及布尔矩阵的三种运算(即布尔非、布尔与、布尔或).返回本章首页8/29/20213第三节复合关系与逆关系本节讨论关系的复合运算与逆运算极其性质;主要考虑了下列问题:1.关系的复合是否满足交换律、结合律、关系的复合对于集合的并(交)是否有分配律;2.关系的复合

3、运算与逆运算在关系图和关系矩阵上的反应;3.关系的复合运算与关系的逆运算之间的运算规律.返回本章首页8/29/20214第四节关系的性质本节我们讨论关系的一些常见性质，主要内容是:1.给出了关系的自反性、对称性、反对称性、传递性的定义;2.给出了关系的自反性、对称性、反对称性、传递性等在关系矩阵及关系图上的反应，其中用关系矩阵及关系图来判断传递性较为困难;3.讨论了关系的各种运算对上述特性的影响.返回本章首页8/29/20215第五节关系的闭包(1)我们希望某个关系具有比较好的性质，比如我们希望它具有自反性，对称性，传递性.但如果该关系又不具有上述性质，那么

4、我们就要对该关系进行适当的改造，即在该关系中适当添加一些元素得到一个新的关系，使这个新关系具有我们需要的性质，同时新关系与原来的关系不要相差得太多，这样就要求我们添加的元素既要使新关系满足要求又要尽可能地少添加元素.通过适当添加元素来扩充原关系,使得到的具有我们需要的性质的新关系称为原关系的闭包，我们通常考虑关系的三种闭包，即自反闭包，对称闭包，传递闭包.返回本章首页8/29/20216第五节关系的闭包(2)本节的内容较丰富,主要有:1.给出了关系的自反闭包、对称闭包、传递闭包的定义;2.从理论上证明了自反闭包、对称闭包、传递闭包的存在性，其中传递闭包较为复

5、杂，是本节重点;3.给出了上述三种闭包的具体计算公式;4.Warshall算法是求有限集合上的二元关系的传递闭包的有效算法;5.考虑了关系的闭包与关系的其它运算的联系.返回本章首页8/29/20217第六节等价关系等价关系是一类最为重要的关系，因为等价关系与集合的分类密切相关,内容有1.以同余关系为例给出等价关系的定义;2.给出了商集的概念3.主要结论是:等价关系与集合的分类相互惟一确定;返回本章首页8/29/20218第七节偏序关系数的大小，集合中元素的排列次序，计算机程序的执行顺序等都牵涉到次序关系，这些在数学上都表现为序关系的研究,本节主要内容有:1.

6、具有自反性、反对称性、传递性的关系称为偏序关系;2.偏序关系的简化关系图—哈斯图,哈斯图与原图的关系是一种压缩与解压缩的关系;3.由两个偏序关系构造新的偏序关系方法(如书中定理2.7.1);4.偏序集中的一些特殊元素,如最大、最小元,极大、极小元,上界、下界等;5.一些特殊的偏序关系,如全序关系,良序关系等.返回本章首页8/29/20219第八节映射映射是高等数学中所研究的单值函数的推广，因此映射也称为函数，这里我们把映射视为一种特殊的二元关系,内容有:1.映射的定义、象与原象、定义域与值域、映射的相等、映射的限制与扩充;2.一些特殊的映射,如满射、单射、双

7、射.返回本章首页8/29/202110第九节复合映射与逆映射映射的复合就是关系的复合,须注意的是复合的次序,主要内容有:1.映射的复合具有结合律,但不符合交换律;2.区分了左逆与右逆；给出里左逆、右逆与单射、满射之间的关系；3.可逆与左、右逆之间的关系.返回本章首页8/29/202111本章小结1.本章我们给出笛卡尔积的定义，并在此基础上抽象出关系的概念、给出了关系的表示方法及关系的运算；特别是关系的复合、关系的闭包、关系的性质极其在关系图上，矩阵上的反映.在讨论关系的闭包时，传递闭包较为复杂、Warshall算法是求有限集合上的二元关系的传递闭包的有效算法

8、.2.本章还介绍了两类特殊的关系—等价关系与偏序关系