先进控制理论及其应用 教学课件 作者 葛宝明 林飞_ 第二章.ppt

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1、第2章　线性系统理论2.1　基本概念2.2　状态空间表达式的建立2.3　线性变换2.4　运动分析2.5　综合问题2.6　状态重构与状态观测器2.7　最优控制2.8　卡尔曼滤波理论2.1　基本概念输入：外部施加到系统上的全部激励。输出：能从外部测量到的来自系统的信息。状态变量：确定动力学系统状态的最小的一组变量。图21　线性连续时间系统的动态结构图2.2　状态空间表达式的建立2.2.1　直接根据系统机理建立状态空间表达式2.2.2　由微分方程求状态空间表达式2.2.3　根据传递函数列写状态空间表达式建立图示电路的数学模型。建模实例RCLi(t)ur(t)uc(t

2、)2.2.1　直接根据系统机理建立状态空间表达式状态空间的描述方程在已知ur(t)的情况下，只要知道uc(t)和i(t)的变化特性，则其他变量的变化均可知道。故uc(t)和i(t)称为“状态变量”。记——状态方程——输出方程状态f(·)、g(·)——向量函数定义为完全表征系统时间域行为的一个最小内部变量组。内部变量对于线性系统，f(·)、g(·)具有线性关系。∈Rnn(系统矩阵)∈Rnp(输入矩阵)线性系统的状态空间描述对于线性定常系统，A、B、C、D为常数阵。故∈Rqn(输出矩阵)∈Rqp(输入输出联系的系数阵)常简写：定常时变常用系统：(A,B,C)

3、,(A,B,C,D),{A,B,C}例：原系统：，不稳定。uy后接补偿器：总传递函数：该系统的模拟图：情况1：uy-系统响应：从输出y看，是稳定的，但x1、x2是不稳定的。情况2：uyuy-x1、x2是不稳定的，从输出y看，也是不稳定的。由上例可见：状态空间法对系统特征的描述要比微分方程更深入。2.2.2　由微分方程求状态空间表达式1.微分方程中不含有输入信号导数项2.微分方程中含有输入信号的导数项2.3　线性变换2.3.1　等价系统方程2.3.2　线性变换的基本特性2.3.3　化系数矩阵A为标准型1、几种最简单的保角变换(1)w=z+a此变换为平移变换，a为平移量

4、，该变换在全空间都构成，空间任意一点的旋转角也为0。(2)w=eiaz，a为实数。很显然，该变换为绕原点旋转变换，a为旋转角，且空间任意一点的旋转角也为a。(3)w=rz，r0。很显然，该变换线性放大或缩小变换，空间任意一点的旋转角也为0。这三种变换可以统一表示为(整线性变换)：2.3.1　等价系统方程该变换可以分为两步完成：第一步变换称为单位圆反演变换，w与w’的辐角相等r.r’=1，w与w’关于单位圆对称。第二步变换为共轭变换，将w’变换到关于实轴的对称点。(4)w=1/z。若c=0，线性变换退化为整线性变换。线性变换除z=-d/c处处解析，z=-d/c为其一

5、阶极点。2、线性变换这样我们总认为线性变换是定义在整个闭曲面上，它是将闭z平面一一变成闭w平面的单叶变换，其逆变换为：现在我们将线性变换的区域加以补充：如c0，在z=-d/c处定义w=；在z=处定义w=-a/c；如c=0，在z=处定义w=。定理1：如果在一个闭平面z上除点z0以外处处解析的函数w=f(z)做出定义在这平面上的单叶变换，则它必是线性变换。证明：首先z=z0不可能为函数的本性奇点，若为本性奇点，当zz0时，函数无极限，显然该闭平面不会是单叶变换；第二z=z0不可能为函数的可去奇点，否则函数在整个闭曲面上处处解析，根据前面关于整函数的定理得f(

6、z)必为常数；故z=z0只能为函数的极点，且为一阶极点，若为高阶极点，在z=z0的邻域内任然不是单叶变换。所以，函数在z=z0的邻域内主要部分呈：，则：在整个闭区域处处解析，所以(z)为常数，所以：显然，该变换只能是线性变换。定义2：二曲线在无穷远点的夹角为，当且仅当它们在倒数变换下的象曲线在原点的夹角为。在这样的定义下，w=1/z在z=0以及z=都是保角的了。即对于z=，做倒数变换z=1/t，得w=t，则dw/dt=1，则在t=0处两曲线的夹角经变换后不变，即w=1/z在z=处保角；而对于z=0，w=，做变换w=1/t，得z=t，则dt/dz=1，故

7、由z到t的变换在z=0处也是保角的。3、线性变换的保圆周性首先整圆周变换将圆周(直线)变换为圆周(直线)，显然具有保圆周性。对于导数变换：w=1/z，对于任意圆周：则：，显然变换后依然为直线或圆周。而线性变换为整线性变换和倒数变换的复合操作，显然线性变换具有保圆周性。4、线性变换的保对称点性定义3：z1、z2关于直线对称，是指z1、z2连线与直线正交且被其平分；z1、z2关于圆周:

8、z-

9、=R2对称，是指z1、z2都在过圆心的直线上，且：且规定圆心与也是关于圆周对称。定理2：闭平面上两点z1、z2关于圆周(直线)对称的充要条件为通过z1、z2的任意