信号与系统 教学课件 作者 张延华 等第2章-连续时间信号与系统SandS-2-8.ppt

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1、ThemeGalleryPowerTemplate§2-8卷积积分国家“十二五”规划教材——《信号与系统》重点难点卷积积分的定义与计算卷积积分的计算2-8卷积积分本讲开始研究连续时间线性时不变（LTI）统系的建模和分析问题。连续时间LTI系统之所以重要，是因为它们在工程应用中具有以下特点：一般的工程系统可以用LTI系统进行建模和仿真。例如，基本电路模型、机械模型都是LTI系统模型；LTI系统的方程可以用标准数学方法进行精确的描述和求解；通过对LTI系统进行相关的分析，可以获得关于系统行为属性的重要信息；LTI系统的分析结果是对系统进行自动控制设计的基础。事实上，自动控

2、制的核心理论就是建立在线性系统分析基础上的；2-8卷积积分在对非LTI系统进行分析和设计之前，通常会对这个非LTI系统在其工作点附近进行线性化处理，得到一个关于原系统的线性近似模型。虽然这个LTI系统模型可能不够精确，但用它却可以使我们按照标准设计方法来启动一个设计过程；最后一个更直接的原因是，叠加原理适用于LTI系统。2-8卷积积分在时域中，连续时间LTI系统有3中分析方法：（1）微分方程分析法：这是连续时间LTI系统的经典解法，甚至还可以用于分析非线性及时变系统的解。微分方程分析法的优点是，叠加原理适用于LTI系统的输出或响应的计算。但其缺点也同样明显，即当微分方

3、程的阶次较高时，方程的求解比较困难。（2）状态变量分析法：这种方法用状态方程组求解一个n阶系统。它基于n个联立一阶微分方程，从n个状态变量的角度描述问题。它对于高阶系统、非线性系统以及多变量（多输入-的输出）也适用。但缺点是需要精确的系统方程。本书暂不讨论这种方法。2-8卷积积分（3）冲激响应分析法：这种方法通过系统的单位冲激响应函数描述松弛（初始条件为零）LTI系统。与前两种方法不同，系统的响应（或输出）直接由系统输入与系统单位冲激响应的卷积积分描述。另外，冲激响应分析法还将系统分析的时域方法与变换域方法通过卷积关系联系起来。这种方法是本书关注的方法。内容安排2-8

4、-1连续时间信号的脉冲分量描述2-8-2卷积积分概念2-8-3卷积积分的性质2-8-4卷积积分计算2-8-1连续时间信号的脉冲分量描述信号与冲激函数之间的关系是信号与系统教程中的一个非常重要的关系。首先回顾一下前面关于冲激函数的基本概念。根据式（2-3-11），冲激函数由以下两个联立方程定义（2-8-1）而一个更严密的定义是，对于一个在处连续的任意函数，单位冲激函数定义为（2-8-2）2-8-1连续时间信号的脉冲分量描述根据式(2-8-2)，冲激函数的筛选性质为（2-8-3）对上式求积分，并根据定义式（2-8-1），有若要给出信号与冲激函数之间的关系，对上式，若令，则

5、有（2-8-4）2-8-1连续时间信号的脉冲分量描述或（2-8-5）式(2-8-5)说明，任意信号都可以表示为时移单位冲激函数的一个加权积分。其中，时移量由连续变量给出，而加权系数正比于时刻冲激函数对信号的抽样值。内容安排2-8-1连续时间信号的脉冲分量描述2-8-2卷积积分概念2-8-3卷积积分的性质2-8-3卷积积分计算2-8-2卷积积分概念设算子H表示一个输入信号为的系统，若用式(2-8-5)给出的信号作为系统的输入，则系统的输出响应为假设可以交换积分和算子H的顺序，则有（2-8-6）显然，连续时间线性系统对时移单位冲激函数的响应完全体现了系统的输入-输出特性。

6、2-8-2卷积积分概念上式说明，时不变性意味着时移的单位冲激信号将产生具有相同时移量的单位冲激响应。若选取单位冲激函数作为系统的输入信号，则系统的输出（也就是响应）就定义为系统的单位冲激响应，即（2-8-7）（2-8-8）如果系统同时还是时不变的，则有2-8-2卷积积分概念（2-8-10）式（2-8-9）指出，LTI系统的输出等于时移量为的单位冲激响应的加权积分。这个积分就是在信号与系统中占据特殊位置的卷积积分(convolution)，一般用符号“*”表示，即式中单位冲激响应表征了一个LTI系统的时域特征。换言之，一旦已知，这个系统对于任何输入的响应都可以求得。将（

7、2-8-8）代入到式（2-8-6）中，得（2-8-9）2-8-2卷积积分概念注意，引入式（2-8-10）之后，它就给出了连续时间LTI系统分析中的一个重要的概念：松弛系统（Relaxedsystems，即初始状态为零的微分方程系统）的响应是任意输入信号与系统单位冲激响应的卷积积分。这个概念，其实就是连续时间系统零状态响应的概念。内容安排2-8-1连续时间信号的脉冲分量描述2-8-2卷积积分概念2-8-3卷积积分的性质2-8-4卷积积分计算2-8-3卷积积分的性质将式（2-8-10）定义的卷积积分作的变量代换，可以得到卷积积分的另一种表示形式：（2-8