信号与系统 教学课件 作者 张延华 等第2章-连续时间信号与系统《信号与系统》第二章-第14讲.ppt

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1、ThemeGalleryPowerTemplate§2-14LTI系统的状态变量描述国家“十二五”规划教材——《信号与系统》2-14LTI系统的状态变量描述系统的状态变量描述（也称状态空间）方法代表了线性系统理论及应用的现代方法。状态变量法适用于描述高阶系统以及具有多个输入、多个输出的系统（多输入多输出系统）。但必须指出，连续时间LTI系统借助于状态变量描述，虽然比系统的微分方程描述方法更为通用，却对系统的建模精度敏感，在实际工程问题中这是一个限制。所谓系统的状态可定义为代表系统过去全部记忆或历史的一组最

2、少数目的信号，换句话说，只要给定了时间起始点时刻系统的状态值，以及时刻之后的输入，就可以完全确定时刻之后所有时间的输出。我们将看到表示系统状态的状态变量的选择并不是惟一的，对于一个给定了输入-输出特性的系统，可以用多个不同的状态变量来描述。内容安排2-14-1状态变量方程的形式2-14-2状态变量模型2-14-3状态方程的时域解2-14-1状态变量方程的形式连续时间LTI系统的状态变量模型包含一组描述系统状态变化的一阶微分方程（称为状态方程），以及一个将系统的输出与其状态变量及输入相联系的代数方程（称为输

3、出方程）。状态方程和输出方程统称为状态方程组，一般可以通过一个n阶线性微分方程来导入。状态方程组若用矩阵形式表示，则为（2-14-1）（2-14-2）2-14-1状态变量方程的形式式中，；和分别为系统的状态向量、输入向量和输出向量，即2-14-1状态变量方程的形式这里n为系统状态变量的维数，r是系统输入向量的维数，p是系统输出向量的维数。矩阵描述了系统的内部行为或属性，矩阵、和则给出系统外部因素与系统之间的联系。如果系统的输入和输出之间不存在直通路径，则矩阵。由于本书只讨论LTI系统，故这些矩阵中的元素均

4、为常数。另外，实际工程系统的动态特性都可以通过式（2-14-1）和（2-14-2）定义的状态空间形式建模，其中对应的矩阵维数分别是，而对应的矩阵元素是。2-14-1状态变量方程的形式连续时间LTI系统的记忆通常存储在系统的储能元件中。因此，可选择与这些元件有关的物理量作为系统的状态变量。例如，电气系统的储能元件是电容和电感，故可选取电容的端电压和流过电容的电流作为状态变量；在机械系统中，储能器件是弹簧和质块，这样，弹簧的位移或质块的速度可选为状态变量。式（2-14-1）及（2-14-2）给出的状态变量方程

5、可以方便地将储能元件的动态行为和输入输出特性联系起来，下面的例子对此进行了说明。2-14-1状态变量方程的形式例2-14-1考虑图2-6-1的简单的RLC电路。其数学模型已经由式(2-6-6)给出如下（2-14-3）设系统的输入为,输出是，试用状态变量描述该电路。2-14-1状态变量方程的形式解：进行如下变量代换（2-14-4）（2-14-5）因此，对式（2-14-5）求导得到（2-14-6）2-14-1状态变量方程的形式若令（2-14-7）（2-14-8）将上面各式代入式（2-14-6）中，有（2-14

6、-8）现将式（2-14-5）和式（2-14-8）写成矩阵形式，可得到系统的状态方程为2-14-1状态变量方程的形式而系统的输出方程，由式（2-14-8）直接可以写成矩阵形式为（2-14-10）显然，由式（2-14-9）及式（2-14-10）给出的系统状态变量模型对应的状态变量矩阵为顺便说明一下，系统的状态变量模型描述不是唯一的，选择不同的状态变量，就有不同的状态变量模型。2-14-1状态变量方程的形式例2-14-2考虑图2-14-1所示的平移机械系统。其中、是系统的阻尼系数，、是弹性系数，、是质量块的质量

7、。该系统有两个输入力和，以及两个输出（位移量）和，试用状态变量描述该机械系统。图2-14-1平移机械系统2-14-1状态变量方程的形式解：根据动力学的基本定律，可给出该系统的数学模型为（2-14-11）选择状态变量如下：（2-14-12）2-14-1状态变量方程的形式将上面各式代入式（2-14-11）中，整理后写成矩阵形式，可得到系统的状态方程为而输出方程如下（2-14-13）（2-14-14）内容安排2-14-1状态变量方程的形式2-14-2状态变量模型2-14-3状态方程的时域解2-14-2状态变量模

8、型考虑一般动态系统的n阶微分方程模型（2-14-16）（2-14-15）式中为系统的输入信号，是系统的输出信号。为方便起见，设微分方程的初始条件为零，即并且。首先考虑输入信号没有导数的情况，这时式（2-14-15）简化为2-14-2状态变量模型引入（状态）变量代换：（2-14-18）（2-14-17）对上式求导、并经整理得2-14-2状态变量模型将上式写成矩阵形式，则得到微分方程（2-14-16）的状态变量模型为（2-14-1