信号与系统 教学课件 作者 张延华 等第2章-连续时间信号与系统SandS-2-9.ppt

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1、ThemeGalleryPowerTemplate§2-9卷积积分的性质国家“十二五”规划教材——《信号与系统》重点难点卷积积分的性质卷积积分的性质2-9卷积积分的性质卷积积分的性质卷积积分具有一些重要的性质。其中最常用的性质有如下3个：交换律结合律分配律内容安排2-9-1交换律2-9-2结合律2-9-3分配律2-9-5单位阶跃函数与卷积积分2-9-4函数与卷积积分2-9-1交换律交换律将式（2-8-10）定义的卷积积分作的变量代换，有，且。代入式（2-8-10）可得如果用变量替换上式积分中的，则可以得到卷积

2、积分的另一种表示形式：（2-9-1）2-9-1交换律可以看出卷积积分关于输入信号和系统的单位冲激响应是对称的，这种对称性说明卷积积分满足交换律，即（2-9-2）卷积积分的对称性可以用图2-9-1予以说明，其中LTI系统用方框内嵌入单位冲激响应表示。根据式（2-9-2），图2-9-1中两个系统的输出是相同的。图2-9-1卷积积分的对称性内容安排2-9-1交换律2-9-2结合律2-9-3分配律2-9-5单位阶跃函数与卷积积分2-9-4函数与卷积积分2-9-2结合律结合律上式的证明只需要改变积分顺序并进行变量代换。

3、结合律可用图2-9-2给出的系统级联关系予以说明。对于LTI级联系统而言，改变子系统的级联顺序对系统的单位冲激响应（输入-输出特性）没有影响。结合律是指三个以上（含三个）函数的卷积积分与函数的卷积顺序无关。比如（2-9-3）2-9-2结合律容易证明，对于级联M个子系统的组合系统，其组合系统的单位冲激响应为图2-9-2结合律与系统的级联（2-9-4）内容安排2-9-1交换律2-9-2结合律2-9-3分配律2-9-5单位阶跃函数与卷积积分2-9-4函数与卷积积分2-9-3分配律分配律上式的证明利用式（2-8-10

4、）定义的卷积积分直接可以得到。分配律是指三个以上（含三个）函数的组合卷积运算满足如下关系（2-9-5）分配律可用图2-9-3给出的系统并联关系予以说明。图2-9-3分配律与系统的并联2-9-3分配律综上所述，系统的单位冲激响应可以完全描述LTI系统的输入-输出特性，而且利用卷积积分的交换律、结合律和分配律还能够方便地确定LTI组合系统的冲激响应。对于LTI并联系统而言，并联M个子系统的组合系统，其组合系统的单位冲激响应为各个子系统单位冲激响应之和，即（2-9-6）2-9-3分配律例2-9-1试求图2-9-4a

5、)给出的组合系统的单位冲激响应。图2-9-42-9-3分配律结果图2-9-4b)所示。在图2-9-4b)中，子系统与是级联关系，因此该级联系统的单位冲激响应为解：确定组合系统的单位冲激响应，首先根据图2-9-4a)，求出并联子系统和的冲激响应为2-9-3分配律结果如图2-9-4c)所示。显然，并联子系统和的单位冲激响应为结果如图2-9-4d)所示。内容安排2-9-1交换律2-9-2结合律2-9-3分配律2-9-5单位阶跃函数与卷积积分2-9-4函数与卷积积分2-9-4函数与卷积积分若系统的激励为单位冲激信号，

6、前面已经推导出卷积积分的一个重要性质，即当时，。又根据系统单位沖激响应的定义，系统的输出就是冲激响应：函数与卷积积分（2-9-7）这个性质显然与的形式无关。因此，任意函数与单位冲激函数卷积积分的结果仍然是函数本身。利用系统的时不变特性，式（2-9-7）可进一步表示为（2-9-8）2-9-4函数与卷积积分（2-9-9）（2-9-10）如果针对任意函数，函数与的卷积积分为和内容安排2-9-1交换律2-9-2结合律2-9-3分配律2-9-5单位阶跃函数与卷积积分2-9-4函数与卷积积分2-9-5单位阶跃函数与卷积积

7、分单位阶跃函数与卷积积分前面已经提到，单位冲激响应表征了一个LTI系统的时域特征。换言之，完全描述了系统的输入-输出特性。下面将证明，LTI系统的单位冲激响应可以由所谓的单位阶跃响应来求出。根据卷积积分的定义式（2-8-10），如果已知，那么这个系统对于任何输入作用下的系统响应为2-9-5单位阶跃函数与卷积积分若设系统的输入信号为单位阶跃信号，则系统在作用下的响应就称之为单位阶跃响应，用表示。因此，系统的单位阶跃响应应为考虑到卷积的交换律，有（2-9-11）（2-9-12）2-9-5单位阶跃函数与卷积积分由于

8、（或）时，，故式（2-9-12）显然又可以表示为（2-9-13）由上式可以看出，系统的单位阶跃响应可以通过对单位冲激响应的积分直接得到，或者由式（2-9-13）也可直接看出系统的单位冲激响应是其单位阶跃响应的一阶导数，即（2-9-14）因此，在连续时间情况下，一个系统的单位冲激响应可以直接利用阶跃响应计算得到，所以单位阶跃响应也可以完全刻画系统的时域特性。例2-9-2设某系统地单位冲激响应如下，求系