信号与系统 教学课件 作者 张延华 等第4章-傅立叶分析《信号与系统》书稿-4-3.ppt

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1、ThemeGalleryPowerTemplate§4-3傅立叶系数的对称性国家“十二五”规划教材——《信号与系统》重点难点傅立叶系数与对称性傅立叶系数与对称性内容安排4-3-1傅立叶系数的奇偶性4-3-2函数f(t)的奇、偶对称性4-3-3半波对称函数f(t)4-3-4四分之一波对称函数f(t)4-3-1傅立叶系数的奇偶性由式（4-2-15）和式（4-2-16）可知，2l周期函数f(t)的复指数对上式运用欧拉公式，即可获得f(t)的三角傅立叶级数展开式的为傅立叶系数为系数比较式（4-3-1）和式（4-3-2），显见复指数傅立叶系数和及之间存在如下关系三角傅立叶系数（4-3-

2、1）（4-3-2）4-3-1傅立叶系数的奇偶性另一方面（见讨论题4-2-3），当f(t)是实函数时已知其复指数满足则将式（4-3-4）写成极坐标形式，有上式中系数的模由式（4-3-3）可以直接得出，即傅立叶系数对所有整数（4-3-3）（4-3-4）（4-3-5）（4-3-6）4-3-1傅立叶系数的奇偶性而其相位为同理，系数的相位则为显然，的相位与的相位存在关系式（4-3-6）及式（4-3-7）给出的结果告诉我们，对于实函数f(t)，；而傅立叶系数的。其傅立叶系数的幅度是k的偶函数，即相位是k的奇函数，即（4-3-7）4-3-2函数f(t)的奇、偶对称性如果针对2l周期函数f(

3、t)的复指数傅立叶系数代入，则有当f(t)为实函数时，式（4-3-8）中的第一项是复指数傅立叶系数的实部，第二项是的虚部。如果信号f(t)同时又是奇函数（满是奇函数而第二项中是偶函数，在这种情况下容易证明对所有k有，足f(-t)=-f(t)），显然第一项中的的（4-3-8）4-3-2函数f(t)的奇、偶对称性和因此，如果f(t)是2l周期的且为奇函数，那么它的三角型傅立叶其中上述结果说明，当函数f(t)是实函数且为奇时，其傅立叶系数是是偶函数而第二项中的是奇函数，同样级数展开就可简化为同理，如果f(t)是偶函数（满足f(t)=-f(t)），显然第一项中的虚数且为奇。（4-3-

4、9）（4-3-10）4-3-2函数f(t)的奇、偶对称性可证明对所有有和因此，如果f(t)是2l周期的且为偶函数，那么它的三角型傅立叶其中上述结果同样说明，当函数f(t)是实函数且为偶时，其傅立叶级数展开就可简化系数是实数且为偶。（4-3-11）（4-3-12）4-3-2函数f(t)的奇、偶对称性讨论题4-3-1重新给出例4-2-1中函数的图形，如图4-3-1所示。图4-3-1函数f(t)的图形周期的，且当时函数值为-1，当时函数值为+1。。f(t)的傅立叶系数为该矩形波函数是容易看出函数f(t)是奇函数，因此它具有傅立叶正弦级数展开形式，其中4-3-2函数f(t)的奇、偶对

5、称性因此，图4-3-1所示函数f(t)的傅立叶正弦级数展开为（4-3-13）4-3-2函数f(t)的奇、偶对称性从图4-3-1可知，当t位于f(t)的任一跳变点，例如的整数倍时，，且对于所有奇数k，都有正如前面已经规定的，f(t)在t取为了更好的说明傅里叶级数的逼近效果，图4-3-2给出了式（4-3-13），k为奇数的图形。对于所有k都有的整数倍时的值正好落在跳变点的中点。中有限求和项4-3-2函数f(t)的奇、偶对称性从图中可见，当N=1时，并不能很好的拟合f(t)；的图形开始逼近f(t)；随着项数的越来越逼近f(t)。显然，这个无穷级数包含的项越多，其合成的波形对于信号f

6、(t)的近似就越好。但是，傅立叶级数的部分和在跳变点处的“过冲振荡”现象并不随求和项的增加而消除，这种现象叫吉布斯现象，我们在后续章节中将专门讨论它。当N=3时，增加，除去跳变点处存在“过冲振荡”外，4-3-2函数f(t)的奇、偶对称性图4-3-2时的逼近4-3-3半波对称函数f(t)如果令式（4-2-20）中的，这里T是函数的周期，并且则称该函数是半波对称的。上式表明，半波对称周期函数沿时间轴平移半个周期并相对于时间轴上下翻转后，函数波形保持不变。如果一个周期函数具有半波对称性，容易证明当k取零和偶数值时，和的值均为零，即周期函数f(t)满足（4-3-14）（4-3-15）

7、4-3-3半波对称函数f(t)当k取奇数值时，傅立叶系数为式中简言之，半波对称周期函数的傅立叶级数展开式中只包含奇次谐波项，直流分量为零。（4-3-16）4-3-4四分之一波对称函数f(t)四分之一波对称函数是指具有半波对称性，且关于正、负半周期的中点对称的周期函数。图4-3-3所示函数f(t)是关于正、负半周期的中点对称的四分之一波对称函数。图4-3-3四分之一波对称函数4-3-4四分之一波对称函数f(t)适当选择t=0的位置，总是能够将一个四分之一波对称周期函数变换成偶函数或者奇函数。例如，图4-3