信号与系统 教学课件 作者 张延华 等第4章-傅立叶分析《信号与系统》书稿-4-13.ppt

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1、ThemeGalleryPowerTemplate§4-13信号的抽样和重建国家“十二五”规划教材——《信号与系统》重点难点离散傅立叶级数与变换、抽样定理抽样定理的应用内容安排4-13-1周期序列：离散傅里叶级数4-13-2非周期序列：离散时间傅里叶变换4-13-3信号的抽样和重构4-13-1周期序列：离散傅立叶级数（DTFS）设x(n)是一个周期为N的周期序列,它满足条件式中N是序列的基本周期。由傅立叶级数知，周期函数可由复指数的线性组合来构成，其频率为基波频率(这里为)的高次谐波(或倍数)。因此，周期为N的周期序列x(n)就可以用如下

2、的离散时间傅立叶级数（discrete-timeFourierseries:DTFS）来表示：(4-13-1)4-13-1周期序列：离散傅立叶级数（DTFS）上式将分解为个谐波相关的复指数之和的形式，其中称为离散时间傅立叶级数的系数，可由下式给出：注意，X(k)是一个基波周期为N的(复值)周期序列，也即公式(4-13-1)和(4-13-2)形成了一个DTFS变换对，称之为周期序列的离散时间傅立叶级数。(4-13-2)(4-13-3)4-13-1周期序列：离散傅立叶级数（DTFS）由式(4-13-3)可知离散时间傅立叶级数的系数是具有基本周

3、期N的周期序列，显然，一个具有周期N的周期序列x(n)的频谱就是具有周期N的周期序列。因此，序列或其频谱的任何N个连续样本提供了时域上或者频域上对该序列的完全描述。虽然离散时间傅立叶级数的系数是具有基本周期N的周期序列，但为方便起见一般将k的取值限制在的单个周期上。4-13-1周期序列：离散傅立叶级数（DTFS）求以下序列的傅立叶级数展开：例4-13-1是周期的周期序列1）2）3）因为或，显然是非有理数，故该序列不是周期序列。因此该序列不能展开成离散时间傅立叶级数。解：1）2）因为或，是周期的周期序列。由式(4-13-2)知：4-13-1

4、周期序列：离散傅立叶级数（DTFS）其实，由欧拉公式，可以表示为：若将式(4-13-1)展开，有3）由式(4-13-2)，有4-13-1周期序列：离散傅立叶级数（DTFS）例4-13-2求序列的DTFS系数：解：序列的周期，且是奇对称的。故可以在（表示）区间取值，也可以在（表示）的区间取值。第一种情况，n在n=-2:2区间取值，由式(4-13-2)可得代入序列的样本值，有4-13-1周期序列：离散傅立叶级数（DTFS）(4-13-4)由上式就可以确定k=-2:2区间的DTFS系数，即4-13-1周期序列：离散傅立叶级数（DTFS）如果将X

5、(k)的幅度的模记为就是所谓的序列x(n)的幅度谱；同理，X(k)的相位若记为arg[X(k)]，表示相位与频率序数k的波形，称之为序列x(n)的相位谱。则序列x(n)的幅度谱和相位谱如图4-13-1所示。，表示幅度模与频率序数k的波形4-13-1周期序列：离散傅立叶级数（DTFS）图4-13-1序列的幅度谱和相位谱4-13-1周期序列：离散傅立叶级数（DTFS）第二种情况，n在n=0:4的区间取值，由式(4-13-2)可得代入序列的样本值，有(4-13-5)比较式(4-13-4)和(4-13-5)，由于n的取值区间不同，故两式似乎不同。

6、但若注意到则两个区间n=-2:2和n=0:4的DTFS系数的描述是完全相同的。4-13-2非周期序列：离散时间傅立叶变换（DTFT）正如前面研究讨论过的连续时间非周期能量信号的频率分析，离散时间非周期序列的频率分析同样涉及时域信号序列的傅立叶变换，这就是本讲讨论的主题：离散时间傅立叶变换（discrete-timeFouriertransform:DTFT）。离散时间傅立叶变换（DTFT）描述离散时间序列的频谱，给出了离散时间信号序列具有周期频谱的概念。设离散序列是绝对可求和（能量有限）的，即满足则其离散时间傅立叶变换（DTFT）定义为：

7、(4-13-6)与连续时间傅立叶变换（CTFT）比较，离散时间傅立叶变换（DTFT）有两个重要的特点。第一个特点是，对于连续时间信号它的傅立叶变换和信号频谱的频率范围是；然而对于离散时间序列，其频谱的频率范围只在或者频率区间。这一特点可反映在信号序列的傅立叶变换上，也就是说因此，是周期的周期函数。4-13-2非周期序列：离散时间傅立叶变换（DTFT）(4-13-7)4-13-2非周期序列：离散时间傅立叶变换（DTFT）第二个特点其实是信号序列本身就具有的特点。因为离散序列与连续信号不同，它在时间上是离散的，从而导致序列信号的傅立叶变换是对

8、展开项的求和而并非是对连续时间信号的积分过程。即的离散时间逆傅立叶变换（IDTFT）定义为：上式可以看作是在频率区间内把x(n)分解成复指数的线性组合。需要说明的是，如果序列的持续时间（也称宽