数学联赛数列题选1.doc

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1、全国高中数学联赛准备试题分类解析-----数列部分班别_________学号_______姓名_______________1.设是一个等差数列，记，则的最小值为2．函数满足，且对任意正整数都有，则的值为3.已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为Sn。则满足不等式

2、Sn-n-6

3、<的最小整数n是（）A．5B．6C．7D．84.给定数列{xn}，x1=1，且xn+1=，则=（）A．1B．-1C．2+D．-2+6.已知，定义，则（　　　　）A．B．C．D．7.将数列依原顺序按第组

4、有项的要求分组，则2013在第组.8.求和：+…+9.已知数列{an}满足，，，为正数　.（1）若对恒成立，求m的取值范围；（2）是否存在，使得对任意正整数都有？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。解析：（1）∵为正数，①，=1，∴>0（n∈N*），………1分又②，①—②两式相减得，∴与同号，---------------------4分∴对n∈N*恒成立的充要条件是>0.---------------------7分由=>0，得>7　.---------------------8分（2）证法1：假设存在，使得

5、对任意正整数都有.则，则>17　.--------------------9分另一方面，==，---------11分∴，，……，，∴，∴=，①--------------------------------14分当m>16时，由①知，，不可能使对任意正整数n恒成立，--------------------------------15分∴m≤16，这与>17矛盾，故不存在m，使得对任意正整数n都有　.--------------------------------16分（2）证法2：假设存在m，使得对任意正整数n都

6、有　.则，则>17　.--------------------9分另一方面，，------------------11分∴，，……，，∴，①-----------------14分当m>16时，由①知，，不可能使对任意正整数恒成立，--------------------------15分∴m≤16，这与>17矛盾，故不存在m，使得对任意正整数n都有。---16分10.已知数列满足，（），求的通项公式..11.设是数列的前项和，且是和的等差中项．（1）求数列的通项公式；（2）设，，求证：．解：1）∵是和的等差中项，

7、∴，①当时，，解得.当时，.　②①－②得，∴.∴.∴.∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴.当时，，符合上式，所以数列的通项公式为.（3）∵，∴.∴.∵，∴.即.12.已知数列{an}满足a1=a2=1，an+2=an+1+an,Sn为数列的前n项和，求证：Sn<2。13.设函数的定义域为R，当时，，且对任意实数，有成立，数列满足且（1）求的值；（2）若不等式对一切均成立，求的最大值.16.已知数列{an}满足a1=3,a2=6,an+2=2an+1+3an，求通项an.【解】由特征方程x2=2x+3得x1=3,x

8、2=-1,所以an=α·3n+β·(-1)n，其中，14.正数列a0,a1,…,an,…满足=2an-1(n≥2)且a0=a1=1，求通项。15.已知函数，数列满足：，.，记．(1)求证：数列成等比数列，并求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和公式．16.(2013广东预赛)已知数列的各项均为正数，，且对任意，都有．问：是否存在常数，使得对任意都成立？解：在中，令，得若存在常数使得，则∵，∴.∴.由于，上式两边同除以，得所以，即存在常数，使得对任意都成立.17.（2013全国联赛一试第9题）给定正数数列满足.这

9、里.证明：存在常数，使得