借因式分解求值.doc

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1、借因式分解求值湖北省黄石市下陆中学　周国强因式分解用处多多。其中，某些求值问题亦可借助因式分解来解决，现举几例，以求抛砖引玉。一、.求算式的值例1计算：1003－501×2006简析：因为2006=1003×2，501×2=1002，所以运用提公因式法进行因式分解，可简化运算。。解：原式=1003－501×2×1003=1003×（1003－1002）=1003。例2计算：101－202－9998简析：因为首项是101，第二项中的202=2×101，第三项中的9998=9999－1，所以考虑用完全平方公式分解因式，可简化运算。

2、解：原式=101－2×101－（9999－1）=（101－1）－9999=100－9999=1。二、求代数式的值例3当m=－5时，求m－34m+225的值简析：直接代入计算较麻烦，可先考虑用十字相乘法将所求的式子因式分解，再代入计算。解：∵m－34m+225=（m－9）（m－25）=（m+3）（m－3）（m+5）（m－5），∴当m=－5时，原式=0。例4已知a+a+1=0,求a+2a+5a+4a的值。简析：显然，解出a的值后，再代入计算是不可取的。若先把所求式子进行因式分解，然后整体代入求值，则事半功倍。解：∵a+2a+5a+

3、4a=（a+a）+4（a+a）=（a+a）（a+a+4），∴当a+a=－1时，原式=－1×（－1+4）=－3。三、求待定系数的值例5二次多项式x+2mx－3m能被x－1整除，求m的值。简析：二次多项式x+2mx－3m能被x－1整除，即x+2mx－3m中含有因式x－1。若x+2mx－3m能分解为两个关于x的一次式的积，则问题迎刃而解。解：∵x+2mx－3m＝（x+3m）(x－m),又x+2mx－3m能被x－1整除，∴x+3m＝x－1或x－m=x－1，∴m=－或1.例6.k为何值时，方程（k－1）x－(2k+3)x+(k+4)=0

4、(k≠1)的两根平方差为15？简析：先将方程左边进行因式分解，进而求出两根，依题意可构造关于k的方程来解。解：将原方程左边因式分解，变形为[（k－1）x－(k+4)]（ｘ－1）=　0　　　　∴＝，。∵=±15,∴3k－8k=0或3k－4k+6=0(无解)由3k－8k=0得k=0或k=。故当k=0或k=时，方程两根的平方差为15.四、求函数的最值：例7.已知ｘ为实数，求函数y=－（x－4）（x－10x+21）－100的最值。简析：同学们会求二次函数的最值，而本题中的函数不是二次函数，能否求出它的最值呢？由于本题中的函数较特殊，我

5、们不妨用因式分解法试试。解：∵－（x－4）（x－10x+21）－100=－（x+2）（x－2）（x－3）（x－7）－100=－（x－5x－14）（x－5x+6）－100=－（x－5x）－8（x－5x）+16=－（x－5x+4）≤0∴无论x取何值，函数y总有最大值0。例8.已知：关于x的方程x－2x＋k=0有实数根，且y=+x，函数y有最值吗？若有，试求出其值，若没有，请说明理由。简析：借助因式分解不难求出y关于k的函数，再看此函数有无最值。解：∵+x=（+）[（+）－3]又+=2，=k∴+x=2（4－3k）=8－6k依题意，有

6、△＝2－4k≥0，　　∴k≤1，即y=8－6k这是y关于k的一次函数，故由一次函数的性质知，当k=1时，y有最小值2.从以上几例可以看出，看似较难的求值问题，有时可以借助因式分解来解决，而且方便简捷。