§1.11三垂线定理教学目标1.使学生理解并掌握三垂线定.ppt

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1、§1．11　三垂线定理教学目标1．使学生理解并掌握三垂线定理及其三垂线定理的逆定理；2．通过对三垂线定理的探求过程，进一步渗透立体几何证明中的转化思想．具体体现在线线与线面垂直的辩证关系上；3．能初步掌握三垂线定理与三垂线定理逆定理的应用．注意培养学生对变异形式下三垂线定理的应用能力．进一步提高学生的空间想象能力．教学重点和难点1．三垂线定理的引入与证明，在教学过程中发展学生的探索能力；2．变异位置下三垂线定理的应用．教学设计过程师：请同学回忆空间中的两条直线具有什么样的位置关系？（思维从问题开始，点明这节课是研究空

2、间两直线位置关系的继续）生：相交、平行或异面．师：对．我们可把上述三种情况表述为其中空间两条直线平行，这种特殊位置关系我们已经研究过了．两条直线相交与异面的另一特殊位置关系——空间两直线互相垂直，值得作深入的研究．而相交两直线的垂直问题，我们已经在平面几何中作过系统的研究，现在我们重点研究异面直线互相垂直的情况．（进一步点明研究空间直线和直线的垂直问题）我们的问题是：如何判定两条异面直线的垂直位置关系呢？生：根据两条异面直线互相垂直的定义来判定．即如果两条异面直线所成的角为90°，则称这两条异面直线互相垂直．师：回答

3、得很好．实际上是根据两条异面直线所成的角为直角来判定的．这是由两条异面直线垂直的定义来判定，即定义法．但这样归结为定义判定往往在操作上不是很简便，在今后的证明中运用也不太方便，能不能换一个角度考虑呢？有没有判定两条异面直线垂直的比较简便的方法呢？（进一步调动学生思维，抛开定义去探求新的判定方法）生：可利用直线和平面垂直的性质定理来判定．即如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和这个平面内的任何一条直线垂直，而平面内存在无数多条直线与该垂线异面，这样就可以判定了．师：很好！同学们已经掌握了证明线线垂直的基本思维方法．要证

4、线线垂直，只需证线面垂直．（为三垂线定理的证明埋下伏笔！）如图1，若l⊥α，aα，则l⊥a．但这里l⊥α，情况太特殊了，如果l与a斜交呢？即l为平面α的斜线，能不能判定平面内的直线a与直线l垂直呢？画出图2，aα，l∩α＝O，（lα）．这时你又如何判定a与l是否垂直呢？（提出问题，请学生思考）师：进一步启发（分析图2）根据线面垂直的定义，我们知道如果直线a能垂直于过直线l的一个平面，那么a⊥l．于是，新问题是：如何找出这样一个平面——过l且与a垂直的平面呢？我们知道，满足条件的这样一个平面必须有两条相交直线（l当然不

5、在其内）都与直线a垂直，能不能先解决一部分，即先作出一条与l相交的直线又与a垂直呢？（启而不发，由学生思考）生：过l上一点P（异于点O），作PA⊥α于A，则由线面垂直的性质有a⊥PA．师：很好！在图3中，作出PA⊥α于A（此时不连结AO），并板书由PA∩PO＝P，确定平面PAO，要使a⊥l，只需a⊥平面PAO．故只要有平面PAO内的另一条直线与a垂直就行了！而平面PAO内的哪一条线用起来最方便呢？生：一条直线如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．师：对吗？请同学看是否正确？生：不对，首先

6、应刻画“在平面内”的一条直线．师：对！这非常重要（板书三垂线定理）．试分析定理中的关键词语，并用符号语言表述．如图4，PA⊥α于A，PO∩α＝O，AO是PO在平面α上的射影．aα，若a⊥AO，则a⊥PO．请写出条件和结论．（板书）已知：PA⊥α于A，PO∩α＝O，（这里已隐含AO为斜线PO在平面α上的射影）aα，a⊥AO．求证：a⊥PO．（请学生完成证明过程．事实上通过前面的探求过程等于已把这条定理证明了．只要请学生到黑板板演，并订正即可）两位同学总结了这三个垂直，哪个垂直是关键呢？显然平面α的垂线PA是关键！我们如

7、何记忆这条定理呢？生甲：平面内一直线只要与射影垂直，则与斜线垂直．生乙：我记忆为先有平面内垂直，再转化到空间的垂直关系．师：很好！两位同学的记忆方法各有千秋，可按自己的习惯给予记忆．实际上两位同学的本质是一样的，还应强调PA⊥α于A的前提条件和aα内的关键词语．要深刻理解该定理的证明思路，证明中主要体现了什么数学思想？生：转化的思想，即要证线线垂直，只要转化为证线面垂直，就可以了．师：请同学探求一下平面内的直线a就这一条吗？生：不止一条，因为在平面α内，只要与a平行的直线，就一定和射影垂直，则它必定和斜线垂直，这样的

8、直线是一组平行直线．师：演示一组抽拉投影片．如图5，只需将动片（含直线a的抽拉片）左、右抽动，即可显示这一组平行直线．当且仅当a通过O点时a与PO是共面垂直，而其余的都是异面垂直关系．（图中框片1为固定不动，片2可以抽拉，a画在2上，左、右抽拉可显示a的运动过程为一组平行直线）师：你能构造三垂线定理的逆命题吗？判断它是真命题吗？并证明．（前面在