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《博弈论教学课件作者 姚国庆 论0-5章电子讲义博弈论-第五章.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第五章重复博弈在这一章中，我们将围绕着人类的合作为什么产生这一命题来展开。人与人之间合作生产的一个原因（从经济学的角度来看）是这种做法对于参与者双方而言是一个有利可图的事，为什么说明这一点我们将用到重复博弈。另一个解释合作生产的方法就是引入信息不对称，在这种情况下，一个人装作是好人是有利可图的（因为好名声能够给他带来收益），这在信息不对称中会加以介绍。第一节重复博弈的定义及扩展式给出重复博弈定义之前，需要做若干准备，一个准备就是由于重复博弈有可能会进行一个很长的时期，甚至是无穷期，因而必须考虑收益的时间价值。相应的表达偏好的收益函
2、数也需要给出一定的限制。一、贴现因子与偏好明天的一元钱和今天的一元钱价值是不一样的，最简单的理由是今天的一元钱如果存入银行那么在明天会变成1+r，所以明天的一元钱只相当于今天的1/(1+r)元钱，1/(1+r)实际上就是经济学中的贴现率。如果假设未来没有不确定性，定义，未来存在收益流R1，R2，R3，…，那么这个未来收益流的贴现值之和就为V=(5-1)其中称为贴现因子(Discountfactor)。严格讲，贴现因子并不等于贴现率，但贴现因子与贴现率一定是同方向变动的。例如，我们考虑一个特殊的重复博弈，其结束之前重复进行的次数是随
3、机的，即在博弈的每一阶段完成之后，都要通过抛若干枚（加权的）硬币的方式来决定博弈是否结束，如果硬币朝上那么博弈结束（即概率为p），如果是其他情况，那么博弈继续（即概率为1–p）。如果下一阶段能得到的收益为R1，那么在当前阶段硬币未抛之前的价值（即贴现后的期望值）为(1–p)R1/(1+r)；如果下两阶段能得到的收益为R2，在当前阶段硬币未抛之前的价值为(1–p)2R2/(1+r)2；下三阶段、四阶段等等的收益，照此类推。令，则贴现因子既包含了货币的时间价值（贴现率1/(1+r)），又包含了博弈结束的可能性(1–p)。有了贴现因子的
4、概念，我们就可以非常方便地比较无穷重复博弈中的不同收益值，从而对不同的策略进行优劣判断。考虑一个无穷期的情况，如果t期的收益为Rt，贴现因子为，那么收益流的贴现值为<，其中Rmax=max{R1,R2,R3,…}，即Rmax为收益流中的最大值。同理，>，其中Rmin={{R1,R2,R3,…}，即Rmin为收益流中的最小值。就这意味着，存在一个R使得=。R就被称为收益流(R1,R2,R3,…)的贴现平均收益值。对于不同的策略，显然对应着不同的贴现平均收益值，通过比较平均收益值就能非常方便地知道什么是最优策略。定义5.1设贴现因子为
5、，收益流(R1,R2,R3,…)的贴现平均收益值为。由于平均收益值等于贴现值之和V的倍，使贴现平均收益值最大化就等同于使贴现值之和最大化。使用平均收益的另一个优点，就是我们可以利用它直接和阶段博弈中的收益进行比较,从而更容易知道哪一个策略要优。对于重复博弈中参与者的偏好，同学们可能认为只要照搬前面的收益函数就可以了，而这实际上是不对的。为什么呢？我们知道在确定性下，表达相同偏好的收益函数并不唯一，而是满足单调变换性，即只要f是一个单调递增函数，那么与就表示同一个偏好。但在（无穷）重复博弈中，整个博弈的收益函数为v=(5-2)它实际
6、上为阶段博弈G的收益函数u(s)的一个贴现和，我们把u(s)也称为伯努利收益函数，因为它也像v-N-M偏好一样，要求u(s)必须满足线形变换，即只有当f=a+bu(s)，b>0时，f和u才表示相同的重复博弈偏好。因为这时的v实际上是预期收益函数。容易证明，，，那么，即公式(5-2)中的系数（两边同时除以）实际上是一个概率分布。因而，重复博弈与普通完全信息动态博弈的第二个不同点，就是收益函数为伯努利收益函数，而不是普通的收益函数。二、重复博弈的定义及扩展式定义5.2对于策略式博弈G={N,S,u}，其中N={1,2,…,n}为参与者
7、集合，S={S1,…,Sn}为所有参与者的策略空间（策略实际上就是行动），u={u1,…,un}为所有参与者的收益函数。如果G在时间中（或程序上）不断重复，并且在下一次博弈G开始前，所有以前博弈的历史都被观察到，那么它构成的动态博弈就称之为重复博弈，G就为重复博弈中的阶段博弈。如果G重复进行T次，那么G(T)就表示重复进行T次的有限重复博弈。如果T=∞，那么G(T)就表示无限重复博弈。重复博弈G(T)中参与者i的偏好用收益函数vi表示，即(5-3)其中u(st)为伯努利收益函数，st为重复博弈t阶段的行动组合(T>t>1)，为贴现
8、因子，Ri为参与者i的贴现平均收益值，等于。实际上对于重复博弈中的阶段博弈G，其不仅可以为完全信息静态博弈，也可以是完全信息动态博弈；不仅可以为完全信息博弈，也可以为非完全信息博弈。相应的重复博弈G(T)的扩展式定义如下：定义5.3重复博弈的扩展式
