角平分线的性质及应用.ppt

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1、角平分线的性质及应用驶向胜利的彼岸旧知回顾角的平分线的定义是什么？旧知回顾已知一个角你会将它平分吗？说一说，你有哪些方法？有没有既简单又准确的方法。ABOAＢＯＭＮＣ画法：１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢＮ于．２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于1/2ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ．３．作射线ＯＣ．射线ＯＣ即为所求．1、怎样画一个已知角的角平分线如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，这个集贸市场应建在何处解决问题S公路铁路画一个∠AOB,用尺规作出∠AOB的平分线OP,过P作PD⊥OA,PE⊥OB问题

2、：①比较PD和PE的大小关系（量一量）。PD=PE②再换一个新的位置看看情况会怎样？(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.PAOBCED1、怎样画一个已知角的角平分线证明：∵OC平分∠AOB（已知）∴∠1=∠2（角平分线的定义）∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知）∴∠PDO=∠PEO（垂直的定义）在△PDO和△PEO中∠PDO=∠PEO（已证）∠1=∠2（已证）OP=OP（公共边）∴△PDO≌△PEO（AAS）∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）PAOBCED12已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于

3、点E求证:PD=PE2、验证猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.已知：“一个点在一个角的平分线上”。结论：“这个点到这个角两边得距离相等”角的平分线上的点到角的两边的距离相等3、角的平分线的性质:OCB1A2PDEPD⊥OA，PE⊥OB∵OC是∠AOB的平分线∴PD＝PE用数学语言表述：或：∵∠1=∠2,PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE（角平分线的性质）ACDEBF例：已知：如图，△ABC中∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上BD=DF，求证：CF=EB。证明：∵AD平分∠CABDE⊥AB，∠C＝90°（已

4、知）∴CD＝DE(角平分线的性质)在Ｒt△CDF和Rt△EDB中,CD=DE（已证）DF=DB（已知）∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)∴CF=EB（全等三角形对应边相等）练习1：已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.求证:EB=FC.BAEDCF◆证明：∵AD平分∠CABDE⊥AB，DF⊥AC(已知)∴DE=DF(角平分线的性质)在Ｒt△BED和Rt△CFD中,BD=CD（已证）DE=DF（已知）∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)∴BE=FC（全等三角形对应边相等）练习2：如图

5、，E是∠AOB的角平分线OC上的一点，EM⊥OB垂足为M，且EM=3cm，求点E到OA的距离分析：点E到OA的距离是过点E作OA的垂线段，再根据角的平分线的性质，可知点E到OA的距离。解：过E作EN⊥OA垂足为N∵E是∠AOB的角平分线上的一点，EM⊥OB，EN⊥OA，∴EM=EN又∵EM=3cm，∴EN=3cm即点E到OA的距离为3cm。EBOACMN练习：如图，E是∠AOB的角平分线OC上的一点，EM⊥OB垂足为M，且EM=3cm，求点E到OA的距离分析：点E到OA的距离是过点E作OA的垂线段，再根据角的平分线的性质，可知点E到OA的距离。解

6、：过E作EN⊥OA垂足为N∵E是∠AOB的角平分线上的一点，EM⊥OB，EN⊥OA，∴EM=EN又∵EM=3cm，∴EN=3cm即点E到OA的距离为3cm。EBOACMN练习3：如图，四边形ABCD中AB=AD，AB⊥BC，AD⊥CD，P是对角线AC上一点，求证：PB=PC．回味无穷性质角平分线上的点到这个角的两边距离相等.几何语言：∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).课堂小结PAOBCED12作业课本：习题11.3第5题