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时间:2020-01-25
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1、12.3角的平分线的性质(1)大利初级中学欧新娟不利用工具,请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法?AOBC活动1再打开纸片,看看折痕与这个角有何关系?(对折)情境问题1、如图,是一个角平分仪,其中AB=AD,BC=DC。将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线,你能说明它的道理吗?活动2情境问题ADBCE如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角,又该怎么办呢?2、证明:在△ACD和△ACB中AD=AB(已知)DC=BC(已知)CA=CA(公共边)∴△ACD≌△ACB(SSS)∴∠CAD=∠CAB(全等三角形的对应角相等)∴AC
2、平分∠DAB(角平分线的定义)ADBCE根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线?(不用角平分仪或量角器)OABCE探究新知活动3NOMCENM2.分别以M,N为圆心.大于MN的长为半径作弧.两弧在∠AOB的内部交于C.如何用尺规作角的平分线?ABOMNC作法:1.以O为圆心,适当长为半径作弧,交OA于M,交OB于N.3.作射线OC.则射线OC即为所求.1〉平分平角∠AOB2〉通过上面的步骤,得到射线OC以后,把它反向延长得到直线CD,直线CD与直线AB是什么关系?3〉结论:作平角的平分线即可平分平角,由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。ABOCD实践应用(1)探究角平分线的性质(
3、1)实验:将∠AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论?活动4(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.证明:∵OC平分∠AOB(已知)∴∠1=∠2(角平分线的定义)∵PD⊥OA,PE⊥OB(已知)∴∠PDO=∠PEO(垂直的定义)在△PDO和△PEO中∠PDO=∠PEO(已证)∠1=∠2(已证)OP=OP(公共边)∴△PDO≌△PEO(AAS)∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)PAOBCED12已知:如图,OC平分∠AOB,点P在OC上,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E求证:PD=PE(3)验证猜想角平分线上
4、的点到角两边的距离相等。(4)得到角平分线的性质:利用此性质怎样书写推理过程?∵∠1=∠2,PD⊥OA,PE⊥OB(已知)∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)PAOBCED12用数学语言表述:1.如图,OC是∠AOB的平分线,∵∴PD=PE动脑筋BOAC·DPEPD⊥OA,PE⊥OB活动5OABED思考:如图所示OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,问PE=PD?为什么?CPPD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角平分线上任一点到这个角两边的距离,所以不一定相等。2.如图,在△ABC中,AC⊥BC,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB,AB=7㎝,AC=3㎝,求BE的长。EDCBA动脑筋
5、2、证明:∵AD为∠BAC的平分线,AC⊥BC,DE⊥AB∴DC=DE,∠ACD=∠AED=90°在Rt△ACD和Rt△AED中DC=DE(已证)AD=AD(公共边)∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)∴AE=AC=3cm∴BE=AB-AE=7-3=4cm动脑筋3.在Rt△ABC中,BD平分∠ABC,DE⊥AB于E,则:⑴图中相等的线段有哪些?相等的角呢?⑵哪条线段与DE相等?为什么?⑶若AB=10,BC=8,AC=6, 求BE,AE的长和△AED的周长。EDCBA小结与作业一、过程小结:情境→观察→作图→探究→应用二、知识小结:本节课学习了那些知识?活动61:画一个已知角的角平分线
6、;(注意作图痕迹和几何语言的表达)及画一条已知直线的垂线;2:角平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.3:角平分线的性质的应用
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