高考数学必修知识讲解直线、圆的位置关系(基础).doc

《高考数学必修知识讲解直线、圆的位置关系(基础).doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、直线、圆的位置关系【学习目标】1．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3．在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想.【要点梳理】要点一：直线与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：（1）直线与圆相交，有两个公共点；（2）直线与圆相切，只有一个公共点；（3）直线与圆相离，没有公共点.2.直线与圆的位置关系的判定：（1）代数法：判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解.如果有解，直线与圆C有公共点.有两组实数解时，直线与圆C相交；有一组实数解时

2、，直线与圆C相切；无实数解时，直线与圆C相离.（2）几何法：由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断：当时，直线与圆C相交；当时，直线与圆C相切；当时，直线与圆C相离.要点诠释：（1）当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得.（2）当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理.（3）当直线和圆相离时，常讨论

3、圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决.要点二：圆的切线方程的求法1．点在圆上，如图．法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即．法二：圆心到直线的距离等于半径．2．点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出．要点诠释：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．常见圆的切线方程：（1）过圆上一点的切线方程是；（2）过圆上一点的切线方程是.要点三：求直线被圆截得的弦长的

4、方法1．应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法．2．利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．3．利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：=．要点四：圆与圆的位置关系1.圆与圆的位置关系：（1）圆与圆相交，有两个公共点；（2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点；（3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点.2.圆与圆的位置关系的判定：（1）代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有解

5、.有两组不同的实数解时，两圆相交；有一组实数解时，两圆相切；方程组无解时，两圆相离.（2）几何法：设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为.当时，两圆相交；当时，两圆外切；当时，两圆外离；当时，两圆内切；当时，两圆内含.要点诠释：判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小.也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定.因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法.3.两圆

6、公共弦长的求法有两种：方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．4．两圆公切线的条数与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．（1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条；（2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条；（3）两圆相交时，只有2条外公切线；（4）两圆内切时，只有1条外公切线；（5）两圆内含时，无公切线．【典型例题】类型一：直线与圆的位置关系例1.已知直线y=2

7、x+1和圆x2+y2=4，试判断直线和圆的位置关系.【思路点拨】解决本题的方法主要有两个，其一是利用圆心到直线的距离与半径的大小关系；其二是引入一元二次方程，利用方程根来解决.【答案】相交【解析】解法一：∵x2+y2=4，∴圆心为（0，0），半径r=2.又∵y=2x+1，∴圆心到直线的距离为.∴直线与圆相交.解法二：∵∴（2x+1）2+x2=4，即5x2+4x-3=0.判别式Δ=42-4×5×（-3）=76＞0.∴直线与圆相交.【总结升华】判断直线与圆的位置关系可以从代数方法和几何意义两个方面加以考虑.例2．已知直线方程mx

8、―y―m―1=0，圆的方程x2+y2―4x―2y+1=0．当m为何值时，圆与直线（1）有两个公共点；（2）只有一个公共点；（3）没有公共点．【答案】（1）m＞0或（2）m=0或（3）【解析】解法一：将直线mx―y―m―1=0代入圆的方程化简整理得，（1+m2）x2―2（m2+2m+2）x+