分类讨论思想.ppt

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1、专题一第三讲思想方法概述应用角度例析通法归纳领悟专题专项训练角度一角度二角度三1．分类讨论思想的含义分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略．2．分类讨论的常见类型有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种：(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、

2、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．(3)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根被开方数为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．(4)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类，如角的终边所在的象限，点、线、面的位置关系等．(5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．(6)由实际意义引起的讨论：此类问题常常出现在

3、应用题中，特别是排列、组合中的计数问题．3．分类讨论解题的步骤(1)确定分类讨论的对象：即对哪个变量或参数进行分类讨论．(2)对所讨论的对象进行合理的分类．(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决．(4)归纳总结：将各类情况总结归纳．由概念、法则、公式引起的分类讨论(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝pn－1(p是常数)，则数列{an}是()A．等差数列B．等比数列C．等差数列或等比数列D．以上都不对[思路点拨](1)由于题目中没有明确此圆锥曲线是椭圆还是双曲线，故应进行分类讨论．(2)由于公式an＝Sn－Sn－1适用条件为n≥2，另外p的取值会影响数列的性质，故应考虑分

4、类讨论．(2)∵Sn＝pn－1，∴a1＝p－1，an＝Sn－Sn－1＝(p－1)pn－1(n≥2)，当p≠1，且p≠0时，{an}是等比数列；当p＝1时，{an}是等差数列．当p＝0时，a1＝－1，an＝0(n≥2)，此时{an}既不是等差数列也不是等比数列．[答案](1)A(2)D(1)圆锥曲线没有给定时，要讨论是哪类圆锥曲线，否则会造成漏解.本题中由于所给曲线有两个焦点，所以不必考虑抛物线.(2)本题的讨论在于p的取值，同时对n的取值还要讨论，极易错误地选取C的原因就是忽略了对n的讨论.[例2](2012·北京高考)已知函数f(x)＝ax2＋1(a＞0)，g(x)＝x3＋bx

5、.(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a2＝4b时，求函数f(x)＋g(x)的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．[思路点拨](1)由两曲线在交点(1，c)处具有公切线知，f(1)＝g(1)，f′(1)＝g′(1)．由参数的变化而引起的分类讨论(2)由于f(x)＋g(x)的单调区间与a或b有关，因此求其在区间(－∞，－1]上的最大值时应对a或b的取值进行分类讨论．[解](1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b，因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1

6、)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)．即a＋1＝1＋b，且2a＝3＋b.解得a＝3，b＝3.由于所求的变量或参数的取值不同会导致结果不同，所以要对某些问题中所求的变量进行讨论；而有的问题中虽然不需要对变量讨论，但却要对参数讨论.在求解时要注意讨论的对象，同时应理顺讨论的目的.2．(2012·温州模拟)已知函数f(x)＝(2x＋a)·ex(e为自然对数的底数)．(1)求函数f(x)的极小值；(2)对区间[－1,1]内的一切实数x，都有－2≤f(x)≤e2成立，求实数a的取值范围．[例3]抛物线y2＝4px(p>0)的焦点为F，P为其上的一点，O为坐标原点，若△OPF为等腰三角形，

7、则这样的P点的个数为()A．2B．3C．4D．6[思路点拨]由于本题只说明△OPF为等腰三角形，但是没有明确三角形的顶点，因此应进行分类讨论．根据图形位置或形状变化分类讨论[答案]C本题的分类讨论是由于点P的位置变化而引起的.一般由图形的位置或形状变化引发的讨论包括：二次函数对称轴位置的变化；函数问题中区间的变化；函数图像形状的变化；直线由斜率引起的位置变化；圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；立体几何中点、线、面的位置变化等.(5)幂函数y＝xa的幂指数a的正