2009届全国名校真题模拟专题训练8-圆锥曲线解答题2（数学）.doc

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1、2009届全国名校真题模拟专题训练08圆锥曲线三、解答题(第二部分)26、(福建省泉州一中高2008届第一次模拟检测)已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点。（1）求直线ON（O为坐标原点）的斜率KON；（2）对于椭圆C上任意一点M，试证：总存在角（∈R）使等式：＝cos＋sin成立。解：(1）设椭圆的焦距为2c,因为，所以有，故有。从而椭圆C的方程可化为：①………2分易知右焦点F的坐标为（），据题意有AB所在的直线方程为：②………3分由①，②有：③设，弦AB的中点，由③及韦达定理有：所以，即为所求。………5

2、分(2）显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数，使得等式成立。设，由1）中各点的坐标有：，所以。………7分又点在椭圆C上，所以有整理为。④由③有：。所以⑤又A﹑B在椭圆上，故有⑥将⑤，⑥代入④可得：。………11分对于椭圆上的每一个点，总存在一对实数，使等式成立，而在直角坐标系中，取点P（），设以x轴正半轴为始边，以射线OP为终边的角为，显然。也就是：对于椭圆C上任意一点M，总存在角（∈R）使等式：＝cos＋sin成立。27、(福建省厦门市2008学年高三质量检查)已知曲线C上任意一点M到点F（0，1）的距离比它到直线的距离小1

3、。（1）求曲线C的方程；（2）过点①当的方程；②当△AOB的面积为时（O为坐标原点），求的值。（1）解法一：设，…………1分即当；…………3分当…………4分化简得不合故点M的轨迹C的方程是…………5分（1）解法二：的距离小于1，∴点M在直线l的上方，点M到F（1，0）的距离与它到直线的距离相等…………3分所以曲线C的方程为…………5分（2）当直线m的斜率不存在时，它与曲线C只有一个交点，不合题意，设直线m的方程为，代入（☆）…………6分与曲线C恒有两个不同的交点设交点A，B的坐标分别为，则…………7分①由，…………9分②点O到直线m的距离，…………10分，（舍去）…………12分

4、当方程（☆）的解为若若…………13分当方程（☆）的解为若若…………14分所以，28、(福建省仙游一中2008届高三第二次高考模拟测试)已知方向向量为的直线过椭圆C：＝1(a＞b＞0)的焦点以及点(0，)，椭圆C的中心关于直线的对称点在椭圆C的右准线上。⑴求椭圆C的方程。⑵过点E(-2，0）的直线交椭圆C于点M、N，且满足，(O为坐标原点)，求直线的方程。解：⑴直线①，过原点垂直于的直线方程为②解①②得，∵椭圆中心O(0，0)关于直线的对称点在椭圆C的右准线上，∴，…………………（2分）∵直线过椭圆焦点，∴该焦点坐标为(2，0)，∴，故椭圆C的方程为③…………………（4分）⑵当直

5、线的斜率存在时，设，代入③并整理得，设，则……………（5分）∴，……（7分）点到直线的距离.∵，即，又由得，∴，…………………………（9分）而，∴，即，解得，此时…………………………………（11分）当直线的斜率不存在时，，也有，经检验，上述直线均满足，故直线的方程为29、(福建省漳州一中2008年上期期末考试)已知，点满足，记点的轨迹为.（Ⅰ）求轨迹的方程；（Ⅱ）若直线过点且与轨迹交于、两点.（i）设点，问：是否存在实数，使得直线绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.（ii）过、作直线的垂线、，垂足分别为、，记，求的取值范围.解：（Ⅰ）由知，点

6、的轨迹是以、为焦点的双曲线右支，由，∴，故轨迹E的方程为…（3分）（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设直线l方程为，与双曲线方程联立消得，设、，∴，解得………………………………………（5分）（i）∵……………………（7分）假设存在实数，使得，故得对任意的恒成立，∴，解得∴当时，.当直线l的斜率不存在时，由及知结论也成立，综上，存在，使得.…………………………………………（8分）（ii）∵，∴直线是双曲线的右准线，…………………………（9分）由双曲线定义得：，，方法一：∴…………………………………………（10分）∵，∴，∴………………………………………（11分）注意到直线的斜率不存在时

7、，，综上，………………………………………………………………（12分）方法二：设直线的倾斜角为，由于直线与双曲线右支有二个交点，∴，过作，垂足为，则，∴……………………………………………………（10分）由，得故：30、(甘肃省河西五市2008年高三第一次联考)已知双曲线的离心率e＝2，且、分别是双曲线虚轴的上、下端点（Ⅰ）若双曲线过点（，），求双曲线的方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若、是双曲线上不同的两点，且，求直线的方程解：（Ⅰ）∵双曲线方程为∴，∴双曲线方程为，又曲线C过点Q（2，），∴∴