2009届全国名校真题模拟专题训练8-圆锥曲线解答题1(数学)

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1、08圆锥曲线1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)设、分别是椭圆的左、右焦点.（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；（Ⅱ）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得

2、F2C

3、=

4、F2D

5、？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）易知设P（x，y），则，，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值3；当，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值4（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l易知点A（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k直线l的方程为由方程组依题意当时，设交点C，CD的中

6、点为R，则又

7、F2C

8、=

9、F2D

10、∴20k2=20k2－4，而20k2=20k2－4不成立，所以不存在直线，使得

11、F2C

12、=

13、F2D

14、综上所述，不存在直线l，使得

15、F2C

16、=

17、F2D

18、2、(江苏省启东中学高三综合测试二)已知动圆过定点P（1，0），且与定直线L:x=-1相切，点C在l上.(1)求动圆圆心的轨迹M的方程；（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由（ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.解：(1)依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线M的方程为y2=4x.假设存在点C（－1，y），使△ABC为正三角形，

19、则

20、BC

21、=

22、AB

23、且

24、AC

25、=

26、AB

27、，即因此，直线l上不存在点C，使得△ABC是正三角形.（ii）解法一：设C（－1，y）使△ABC成钝角三角形，，，∠CAB为钝角..该不等式无解，所以∠ACB不可能为钝角.因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是:.解法二：以AB为直径的圆的方程为:.当直线l上的C点与G重合时，∠ACB为直角，当C与G点不重合，且A，B，C三点不共线时，∠ACB为锐角，即△ABC中∠ACB不可能是钝角.因此，要使△ABC为钝角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA为钝角...A，B，C三点共线，不构成三角形.因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐

28、标y的取值范围是：3、(江苏省启东中学高三综合测试三)（1）在双曲线xy=1上任取不同三点A、B、C，证明：⊿ABC的垂心H也在该双曲线上；（2）若正三角形ABC的一个顶点为C(―1,―1)，另两个顶点A、B在双曲线xy=1另一支上，求顶点A、B的坐标。解：（1）略；（2）A(2+,2－),B(2－,2+)或A(2－,2+),B(2+,2－)4、(江苏省启东中学高三综合测试四)已知以向量v=(1,)为方向向量的直线l过点(0,)，抛物线C：(p>0)的顶点关于直线l的对称点在该抛物线上．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）设A、B是抛物线C上两个动点，过A作平行于x轴的直线m，直线OB与直线m

29、交于点N，若(O为原点，A、B异于原点)，试求点N的轨迹方程．解：（Ⅰ）由题意可得直线l：①过原点垂直于l的直线方程为②解①②得．∵抛物线的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上．∴，∴抛物线C的方程为．（Ⅱ）设，，，由，得．又，．解得③直线ON：，即④由③、④及得，点N的轨迹方程为．5、(安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)已知线段AB过轴上一点，斜率为，两端点A，B到轴距离之差为，（1）求以O为顶点，轴为对称轴，且过A，B两点的抛物线方程；（2）设Q为抛物线准线上任意一点，过Q作抛物线的两条切线，切点分别为M，N，求证：直线MN过一定点；解：（1）设抛物线方程为，AB的方程为，

30、联立消整理，得；∴，又依题有，∴，∴抛物线方程为；（2）设，，，∵，∴的方程为；∵过，∴，同理∴为方程的两个根；∴；又，∴的方程为∴，显然直线过点6、(江西省五校2008届高三开学联考)已知圆上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足.（I）求点G的轨迹C的方程；（II）过点（2，0）作直线，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设是否存在这样的直线，使四边形OASB的对角线相等（即

31、OS

32、=

33、AB

34、）？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由.解：（1）Q为PN的中点且GQ⊥PNGQ为PN的中垂线

35、PG

36、=

37、GN

38、∴

39、GN

40、+

41、GM

42、=

43、MP

44、=6，故G点的轨迹是以M、N为焦点的

45、椭圆，其长半轴长，半焦距，∴短半轴长b=2，∴点G的轨迹方程是………5分（2）因为，所以四边形OASB为平行四边形若存在l使得

46、

47、=

48、

49、，则四边形OASB为矩形若l的斜率不存在，直线l的方程为x=2，由矛盾，故l的斜率存在.………7分设l的方程为①②……………9分把①、②代入∴存在直线使得四边形OASB的对角线相等.7、(安徽省淮南市2008届高三第一次模拟考试)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y=x2