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1、2006年第1期5角元塞瓦定理及其应用(一)李成章(南开大学数学科学学院,300071)(本讲适合高中)独的角元塞瓦定理大有与梅涅劳斯定理和塞塞瓦定理与梅涅劳斯定理是数学竞赛范瓦定理成三足鼎立之势.围内的两个重要定理.近几年来,使用这两个此外,对于某些关于角度的计算题,使用定理证明的试题频频出现,因而,不会运用这角元塞瓦定理的解法往往别具一格,是其他两个定理证题的人是很难取得好成绩的.方法所不能比拟的.20世纪90年代中叶,国内很多教练员1角元塞瓦定理开始认识到这两个定理的重要性.起初,大家认为梅涅劳斯定理的应用更灵活
2、一些,也更定理1如图1,设广泛一些,但后来却发现,塞瓦定理及其逆定D、E、F分别是ABC理在证明三线共点时非常有用,加之角元塞的三边BC、CA、AB上瓦定理不但介入竞赛圈而且所占分量越来越的点,三条线段AD、重,使得塞瓦定理的地位日益提高.如今,单BE、CF交于一点M.则图1收稿日期:2005-08-26能,一是A、B、C、D四点构成一个凸四边形的顶点;相交于点D,且以Q、D、B为顶点的三角形与以P、二是一个点在另三个点组成的三角形的内部.分成O、B为顶点的三角形全等.求m、n的值.两个局部分别证明.)(提示:抛物线C
3、2的对称轴可以在点B的左3.试将7个数字:3,4,5,6,7,8,9分成两组,分侧,也可以在点B的右侧.首先,应把此问题分解为别排成一个三位数和一个四位数,并且使这两个数上述两种情况,其次,QDB与POB的对应关系的乘积最大.试问:应如何排列?证明你的结论.并未给出,要把全等三角形按对应顶点分解为不同(提示:数值大的数码放在最高位,可分三步推情况求解.)进:(1)组成两个二位数(当然用6,7,8,9),并探讨其5.已知关于x的二次函数组成规律,可知最大数码后面放最小数码组成的二22y=x+(2k-1)x+k-1位数与次大数码后
4、面放次小数码组成的二位数之乘22积最大,即9687;(2)按上述规律组成三位数,即的图像与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0),且x1+x2=964875;(3)补上一个0,组成四位数96408753,9.问:在对称轴右边的图像上,是否存在点M,使锐最后再去掉0,得9648753之积最大.)角AMB的面积等于3?若存在,求出点M的坐4.如图8,已知抛物标;若不存在,说明理由.线C:y=-3x2+3交(提示:可分四步完成:(1)求>0,确定k的范1165x轴于点P,另一条抛物围(k<4);(2)求k的值(k=-1);(
5、3)求A、B的线C2过点B,顶点为坐标((0,0),(3,0));(4)由SAMB=3求点M的坐标Q(m,n),对称轴与x轴图8(M(2,-2)).)6中等数学(1)对ABC与点M,有类似的.sinBAMsinACMsinCBM注意,图2中的BFM和CME中,各=1;sinMACsinMCBsinMBA只有一条边BM与CM在定理结论中各作为(2)对MBC与点A,有六个角中的两个角的边出现,其余部分均未sinBMDsinMCAsinCBA=1;出现.故此在图中可以擦去.这时,关于三角sinDMC
6、sinACBsinABM形的角元塞瓦定理就变成四边形ABMC的角(3)对MCA与点B,有元塞瓦定理了.sinCMEsinMABsinACB=1;定理3在凸四边形ABMC中,如下4sinEMAsinBACsinBCM个结论成立:(4)对MAB与点C,有(1)对ABC和点M,有sinAMFsinMBCsinBACsinFMBsinCBAsinCAM=1.sinBAMsinACMsinCBM=1;sinMACsinMCBsinMBA定理中一共给出了四个结论.其实,定理(2)对
7、BMA与点C,有的条件加上四个结论中的任一个都是塞瓦定sinMBCsinBACsinAMC理.这里将它们写在一起的目的是为了强调sinCBAsinCAMsinCMB=1;此图形中有四个不同的角度都可以使用角元(3)对MCB与点A,有塞瓦定理.其结果都是有用的,且同等重要.sinCMAsinMBAsinBCA=1;角元塞瓦定理之所以称为角元塞瓦定sinAMBsinABCsinACM(4)对AMC与点B,有理,自然是因为它是由原塞瓦定理(以后需要sinACBsinCMBsinMAB加以区别时,
8、称之为边元塞瓦定理)衍生出来=1.sinBCMsinBMAsinBAC的,即由边的比过渡到角的正弦的比.其实,像边元塞瓦定理的情形一样,角元塞瓦把角元塞瓦定理看作是拼成一个大三角形或定理的逆定理(定理4)也成立.四边形的三个小三角形的三个
