第二章塞瓦定理及应用答

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1、第二章塞瓦定理及应用习题A1．对及点，由塞瓦定理可得，．又对与截线，由梅涅劳斯定理得，，故，由此可知．又，所以．2．在中由题设及塞瓦定理有．又有，，，，，，故．由塞瓦定理之逆知，，三线共点．3．由割线定理有，即．同理，，．三式相乘并适当交换位置，有．由塞瓦定理知，再由塞瓦定理之逆知，，三线共点．4．设的边，，，周长为，过顶点，，且平分周长的直线分别交，，于点，，，则由，，求得，．同理，，．故有．由塞瓦定理之逆，知，，共点．5．令，，，由角平分线性质有，，．由正弦定理，有，，，于是．由塞瓦定理之逆，值，，三线

2、共点．6．令，，，由平分线性质有，，．设的外接圆半径为，由正弦定理有，．子啊中，由余弦定理及公式，求得．由，知，，故同理，，．于是，由塞瓦定理之逆，知，，三线共点．7．由正弦定理，有，．两式相除并注意，有，则，即．同理，．三式相乘，得．由于，共点于，则上式右边等于1，从而左边亦等于1．由塞瓦定理之逆，知，，共点．8．设，，分别与，，垂直于，，，且，，共点于．，，分别与，，垂直于，，．又锐角与的两边分别垂直，故，同理，，从而．类似地有，．三式相乘并适当整理，有．由重，，共点及角元形式的塞瓦定理，知上式右边等于

3、1，从而左边也等于1，也等于1．由塞瓦定理之逆，知，，三线共点．9．设，则，由，求得．10．设，则，由，求得．11．设，则，由，及，求得．12．连，设，则．对及点，有，求得．此时．过作交于，则梯形为等腰梯形，有．又，，则，故．13．设，则，由，求的．14．设，则，由，求得．15．设，则，由及，求得．15．设，，由及，求得．分别在，，中由正弦定理，有，，．故．17．连，设，则，对及点有，求得．连，设，则．对及点有，求得．此时，，故，，共线．18．设，则．对及点有．求得，即有．连，设，则．对及点有，求得，即有．

4、又，故．19．连，，由及为内心，知．又由，知．设，则，对及点有，求得．故为所求．20．设过，，分别与，，平行的直线交成，则，，分别为，，的中点．又设过，，与，，平行的直线，，分别与，，交于，，，则有；而由，，，知，有．从而，即，，三点共线．故有（因，）=．同理，，．于是由塞瓦定理知，，共点共点．21．因，有，．即，．又，，则．于是．即．由塞瓦定理，即得结论．22．令，，，则，．由，得．同理，，．在中，有．由塞瓦定理之逆，知，，共点，故，，共点．23．设，，，．在中，，，交于一点，由角元形式的塞瓦定理，有，即

5、．令，，，，，，，．同理，有，．注意到，，交于一点，由角元形式的塞瓦定理，有，由此即证．24．令，，，，，．，，共线．而，则，，．又由条件易知，，，．由此即证．注：此题也可以应用梅涅劳斯定理证．分别延长和，和，和得交点，，（交点可无穷远处）．由，有．同理，，．直线截，由梅涅劳斯定理，有．同理，，．三式相乘并注意，，，得．由梅涅劳斯定理之逆，知，，共线．又点，，分别是和对应所在直线的交点，利用笛沙格逆定理可得和对应顶点的连线，，共点．25．设与相交于，对应用塞瓦定理，有．又由梅涅劳斯定理，点，，共线的充要条件

6、是．从而转证即可．因，，这表明，即时的平分线，且，是的外角平分线，由此即证得结论．26．设，，交边，，于，，．由，，，三式相乘即证．习题B1．设直线，，交，，于，，过作的切线交，于，．由，知，，则，即．连，，设的半径为则，，，；，，，分别四点共圆．由，，则，．而，，则，即．同理，，，则．由塞瓦定理之逆，有，，三线共点．即，，三线共点．2．设交圆于，，连，，，，，，，，．由，，有，．而，则，即．同理，．于是．对圆内接四边形和分别应用托勒密定理，有，，所以，由此得，即．由塞瓦定理的推论，知，，三线共点．同理，，

7、，三线共点．因与交点唯一，故，，，四线共点．3．设的内心为，则是的垂心．令，，．（Ⅰ）由，有，即，有．同理，，故．同理，，．三式相加即证．（Ⅱ）令，，，则，，．对应用塞瓦定理，有，即，从而，．（*）又由平均值不等式，有．即，亦即，等号当且仅当为正三角形时成立．注：其中（*）是三角形与其内接三角形的关系公式．4．延长交于，由塞瓦定理有．由，知．又，过作交直线于，作交直线于，有，，于是得．有，有，得．5．连交直线于．令，，，由，有．同理，．又．对及点应用塞瓦定理，有，得，即．由此可得，即证6．连，，设，则，对及

8、点应用角元形式的塞瓦定理，有，求得，故为所求．7．由，，及，，注意应用塞瓦定理，，从而8．设直线与交于．过作的垂线交于．设圆的圆心为，由，有．由有，即．注意，有．由塞瓦定理之逆，知，，共点，直线重合于，点与重合．又，，，共圆，且直径为，又，知也在此圆上．故．9．设直线交于，直线交于，交于，由塞瓦定理的逆定理，只要证明．设中心为的正方形边长为，顶点，分别在边和上，顶点，在上，且在，之间．因过正方形的中心，若截边两段