圆锥曲线的第三定义.pdf

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1、2015.1.23JZX圆锥曲线的第三定义及运用成都石室中学蒋宗汛一、椭圆和双曲线的第三定义1.椭圆22xy在椭圆C：1ab0中，A、B是关于原点对称的两点，P是椭圆上异于A、B的一22ab22b点，若k、k存在，则有：kk=e1=PAPBPAPB2a22b证明：构造△PAB的PA边所对的中位线MO，kk，由点差法结论：kk=e1=PAMOMOPB2a知此结论成立。2.双曲线22xy在双曲线C：1中，A、B是关于原点对称的两点，P是椭圆上异于A、B的一点，若k、k22PAPBab22b存在，则有：kk=e1=PAPB2a22证明：只需将椭圆

2、中的b全部换成b就能将椭圆结论转换成双曲线的结论。1/62015.1.23JZX二、与角度有关的问题22xy3例题一：已知椭圆C：1ab0的离心率e，A、B是椭圆的左右顶点，为椭圆与双曲22ab222xycos线1的一个交点，令PAB=，APB=，则=78cos2.PBx=21解答：令，由椭圆第三定义可知：tantan=e1=4coscoscoscossinsin1tantan3===cos2coscoscossinsin1tantan5点评：其实所谓

3、的双曲线方程只是一个障眼法，并不影响题目的解答。两顶点一动点的模型要很快的联想到第三定义，那么剩下的任务就是把题目中的角转化为两直线的倾斜角，把cos转化为斜率（tan）。题目中的正余弦化正切是三角函数的常见考点。变式1-1：（石室中学2015级高二下4月18日周末作业）22已知双曲线C：xy2015的左右顶点分别为A、B，P为双曲线右支一点，且PAB=4APB，求2/62015.1.23JZXPAB=.解答：令PAB=0，，PBA=0，，则=5，由双曲线的第三定义知：222tantan=tantan5=e

4、1=11则：tan==tan5=5=tan52212点评：与例题1采取同样的思路转化角，但对于正切转换的要求较高。两锐角正切乘积为1即表示sinα=cosβ，cosα=sinβ两角互余，则可解出α的值。当然双曲线的题目较于椭圆和抛物线题目考试概率较小，但既然提到了双曲线的第三定义，不妨做一做。三、与均值定理有关的问题22xy例题2：已知A、B是椭圆1ab0长轴的两个端点，M、N是椭圆上关于x轴对称的两22ab点，直线AM、BN的斜率分别为k、k，且kk0。若kk的最小值为1，则椭圆的离心率121212解答：由题意可作图

5、如下：3/62015.1.23JZX222bb连接MB，由椭圆的第三定义可知：kk=e1=，而kkkk=AMBM2BMBN122aa2bb13kk2kk==1=e=1212aa221点评：这道题由于表达式kk1非常对称，则可直接猜特殊点求解。k=k=时可取最12min122b13值，则M、N分别为短轴的两端点。此时：k=k==e=。对于常规解法，合理利用M、12a22N的对称关系是解题的关键，这样可以利用椭圆的第三定义将两者斜率的关系联系起来，既构造了“一正”，又构造了“二定”，利用均值定理“三相等”即可用a、b表示出最值1。当然将k、k前

6、的系12数改为不相等的两个数，就不能利用特殊值法猜答案了，但常规解法相同，即变式2-1。22xy变式2-1：已知A、B是椭圆1ab0长轴的两个端点，M、N是椭圆上关于x轴对称的22ab两点，直线AM、BN的斜率分别为k、k，且kk0。若2k22k的最小值为1，则椭圆的离121212心率.222bb解答：连接MB，由椭圆的第三定义可知：kk=e1=，而kkkk=AMBM2BMBN122aa4bb1152k22k4kk==1=e=1212aa4422xy2变式2-2：已知A、B是椭圆1ab0长轴的两个端点，若椭圆上存在Q，使

7、AQB，22ab3则椭圆的离心率的取值范围为.解答：令Q在x轴上方，则直线QA的倾斜角为0，，直线QB的倾斜角为，。22tantanAQB，，tanAQBtan21tantan22bb由椭圆的第三定义：tantan=，则tan=22aatan4/62015.1.23JZX2b2btantan2tantana2tanatan带入可得：==221tantanbb1122aa2