圆锥曲线的第三定义

《圆锥曲线的第三定义》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、2015.1.23-24JZX圆锥曲线的第三定义及运用一、椭圆和双曲线的第三定义1.椭圆在椭圆中，A、B是关于原点对称的两点，P是椭圆上异于A、B的一点，若存在，则有：证明：构造△PAB的PA边所对的中位线MO，，由点差法结论：知此结论成立。2.双曲线在双曲线中，A、B是关于原点对称的两点，P是椭圆上异于A、B的一点，若存在，则有：证明：只需将椭圆中的全部换成就能将椭圆结论转换成双曲线的结论。12/122015.1.23-24JZX一、与角度有关的问题例题一：已知椭圆的离心率，A、B是椭圆的左右顶点，为椭圆与双曲线的一个交点，令，则

2、.解答：令，由椭圆第三定义可知：点评：其实所谓的双曲线方程只是一个障眼法，并不影响题目的解答。两顶点一动点的模型要很快的联想到第三定义，那么剩下的任务就是把题目中的角转化为两直线的倾斜角，把正余弦转化为正切。题目中的正余弦化正切是三角函数的常见考点☆。12/122015.1.23-24JZX变式1-1：（石室中学2015级高二下4月18日周末作业）已知双曲线的左右顶点分别为A、B，P为双曲线右支一点，且，求.解答：令，，则，由双曲线的第三定义知：则：点评：与例题1采取同样的思路转化角，但对于正切转换的要求较高。两锐角正切乘积为1即表

3、示sinα=cosβ，cosα=sinβ两角互余☆，则可解出α的值。当然双曲线的题目较于椭圆和抛物线题目考试概率较小，但既然提到了双曲线的第三定义，不妨做一做。一、与均值定理有关的问题例题2：已知A、B是椭圆长轴的两个端点，M、N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM、BN的斜率分别为，且。若的最小值为1，则椭圆的离心率为.12/122015.1.23-24JZX解答一（第三定义+均值）：由题意可作图如下：连接MB，由椭圆的第三定义可知：，而解答二（特殊值法）：这道题由于表达式非常对称，则可直接猜特殊点求解。时可取最值，则M、N分别为

4、短轴的两端点。此时：。点评：对于常规解法，合理利用M、N的对称关系是解题的关键，这样可以利用椭圆的第三定义将两者斜率的关系联系起来，既构造了“一正”，又构造了“二定”，利用均值定理“三相等”即可用a、b表示出最值1。当然将前的系数改为不相等的两个数，就不能利用特殊值法猜答案了，但常规解法相同，即变式2-1。变式2-1：已知A、B是椭圆长轴的两个端点，M、N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM、BN的斜率分别为，且。若的最小值为1，则椭圆的离心率为.12/122015.1.23-24JZX解答：连接MB，由椭圆的第三定义可知：，而变式

5、2-2：已知A、B是椭圆长轴的两个端点，若椭圆上存在Q，使，则椭圆的离心率的取值范围为.解答一（正切+均值）：令Q在x轴上方，则直线QA的倾斜角为，直线QB的倾斜角为。，由椭圆的第三定义：，则带入可得：（取等条件：，即Q为上顶点）而tanx在单增，则Q为上顶点时，所以此时，故解答二（极限法）：当Q趋近于A、B两点时，（此时Q点所在的椭圆弧趋近于以AB为直径的圆的圆12/122015.1.23-24JZX弧，相当于直径所对的圆周角）；当Q在A、B间运动时（Q在以AB为直径的圆内部，直径所对的圆周角=90°），由椭圆的对称性可猜测当Q为

6、短轴端点时。由于：椭圆上存在Q，使，那么Q为短轴端点时。取临界情况，即Q为短轴端点时，此时；当椭圆趋于饱满（）时，椭圆趋近于圆，圆的直径所对的圆周角永远为90°，不满足；当椭圆趋于线段（）时，，满足。故。当然这些只需要在头脑中一想而过，简洁而有逻辑。点评：这道题可以增加对于圆周角的理解，在用极限法讨论：“当Q趋近于A、B两点时，”时能会颠覆“”的认知，当然这肯定是错的，结合常规解法可以看出此时是角最小的情况，而不是角最大的情况。要搞清楚，不然会被弄晕的。对于常规解法选择正切表示角的大小的原因有二：①与第三定义发生联系②tanx在单增

7、便于利用tanx的大小比较角度的大小。一、总结归纳1.上述部分题目的常规解法较复杂，但做题时一定要能猜答案，而且要猜得有理由。2.对于均值不等式，注意取等条件是“三相等”，即相等时取最值。这可以帮助猜测表达形式是高度对称的式子的最值，如：例题23.极限法可以刻画出单调变化的某一变量的端点值，如：变式2-2中P在椭圆上滑动，角度的变化一定是光滑的（无突变，连续），所以只需考虑边界值。12/122015.1.23-24JZX1.做几何的选填题时，有时利用圆周角定理可以很快的找到最大角，注意学会恰当运用，如：变式2-2。2.常以正切值刻画

8、角度大小。3.在做综合性较大的题目时要联系各种知识，灵活转化，以最巧妙的方法致胜。4..5..一、方法链接针对上文提到的“圆周角找最大角”与“椭圆中另一类均值”进行拓展补充，各附例题。例题3：在平面直角坐标系XOY中，给定两点和，点P