指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质知识点总结.pdf

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1、（一）指数与指数函数1．根式（1）根式的概念（2）．两个重要公式an为奇数nn①aa(a0)；

2、a

3、n为偶数a(a0)nnn②(a)a（注意a必须使a有意义）。2．有理数指数幂（1）幂的有关概念mnnm①正数的正分数指数幂:aa(a0,m、nN,且n1);m11n②正数的负分数指数幂:a(a0,m、nN,且n1)mnmnaa③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。（2）有理数指数幂的性质rsr+s①aa=a(a>0,r、s∈Q);rsrs②(a)=a(a>0,r、s∈Q);rrs③(ab)=ab(a>0,b>0,r∈Q

4、);.3．指数函数的图象与性质xy=aa>100时，y>1;(2)当x>0时，01(3)在（-，+）上是增函数（3）在（-，+）上是减函数xx,xx注：如图所示，是指数函数（1）y=a,（2）y=b（3）,y=c（4）,y=d的图象，如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即1111c>d>1>a>b,∴c>d>1>a>b。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。（二）对数与对数函数1、对数的概

5、念（1）对数的定义xN如果aN(a0且a1)，那么数x叫做以a为底，N的对数，记作xloga，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。（2）几种常见对数对数形式特点记法一般对数N底数为aa0,且a1loga常用对数底数为10lgN自然对数底数为elnN2、对数的性质与运算法则golNN1aaa（1）对数的性质（a0,且a1）：①log0，②ogl1，③aN，④oglN。aaa（2）对数的重要公式：2NNloga①换底公式：logbb(a,b均为大于零且不等于1,N0)；logab1②log。aalogb（3）对数的运算法则：如果a0,且a1，M0,N0那么①loga(MN)logaMlogaN；M②

6、logalogaMlogaN；Nn③logaMnlogaM(nR)；nn④logmblogab。am3、对数函数的图象与性质a10a1图象性（1）定义域：（0,+）质（2）值域：R（3）当x=1时，y=0即过定点（1，0）（4）当0x1时，y(,0)；（4）当x1时，y(,0)；当x1时，y(0,)当0x1时，y(0,)（5）在（0,+）上为增函数（5）在（0,+）上为减函数注：确定图中各函数的底数a，b，c，d与1的大小关系提示：作一直线y=1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。∴0

7、图象关于直线y=x对称。（三）幂函数1、幂函数的定义α形如y=x（a∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。2、幂函数的图象1322-1注：在上图第一象限中如何确定y=x，y=x，y=x，yx，y=x方法：可画出x=x0；1322-1当x0>1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x，y=x，y=x，yx，y=x；1-1223当0

8、）x

9、xR且x0值域R[0，）R[0，）y

10、yR且y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0，）时，增；增增x∈(0,+)时，减；x∈(-,0)时，减x∈(,0]时，减定点（1，1）4