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1、《现代概率论》讲义稿第二章测度与积分贵州大学胡尧第二章测度与积分(MeasuresandIntegration)一、测度与测度空间1.测度定义_①.()Ω,F为一可测空间,μ为定义于F取值于R=[0,+]+∞的函数(非负集函数),常用μ,,υλ等表示∞∞②.A,1nn∈≥FnAAmn,∩m=≠φ,⇒μμ()(∑∑AAnn=)nn==11μ具有可列可加性(σ可加性)③.φ∈F,且μ()0φ=则称μ为Ω上的(或()Ω,F上的)测度.测度μ是非负、σ可加性、μ()0φ=的集合函数.④.If∀∈AF,有μ()A<∞,then称μ在F上有限测度.特别地,ifΩ∈F,且μ()1Ω=,then
2、称μ为概率测度.∞If∀∈AF,∃∈AnF,stA..⊂∪An且μ()An<∞,则称μ为σ有限测度.n=1∞注:∪An不一定∈Fn=111例:R中的Lebesgue测度是σ有限的,即LR()=∞A[,1=+nn]()1⇒=LA,LA()[,]=abba=−nnn注:Lebesgue测度是线段长度概念的延伸(更一般地,是欧式空间中面积或体积概念的延伸),本节引入的测度是Lebesgue测度的抽象化.2.测度空间设μ为可测空间()Ω,F上的测度,称三元体()Ω,,Fμ为测度空间.若μ()Ω<∞,称μ为有限测度,并称()Ω,,Fμ为有限测度空间.若μ()1Ω=,则称μ为概率测度,并称(
3、)Ω,,Fμ为概率测度空间第1页共30页《现代概率论》讲义稿第二章测度与积分贵州大学胡尧∞若存在Ann∈≥F,1,使得∪An=Ω,且使μ()An<∞对一切n≥1成立(An为Ω的一n=1个划分),则称μ为σ有限测度,并称()Ω,,Fμ为σ有限测度空间.3.完备测度空间设()Ω,,Fμ为一测度空间,若AA∈F,(且μ)0=,称A为μ零测集.如果任何μ零测集的子集均属于F,称F关于μ是完备的,称()Ω,,Fμ为完备测度空间.P37汪(定义2.1.5)设μ为σ代数F上的测度,LF={:AA∈=,()0}μA,又令NP=∈Ω{(NA):存在∈G,使N⊂A},则把N中元素称为μ可略集.若N⊂
4、F,则称μ在F上完备的.#例:①.在P()Ω上规定μ:μ(){}AA=(A的元素个数)计数测度当A为无限集时,μ()A=+∞;当Ω为有限集时,μ为有限的;当Ω为可列集时,μ为σ有限的.⎧0A为有限集c②.若数AP=∈Ω{(AA):orA为有限集(或空集)},υ()A=⎨⎩1A为无限集则易验证:υ在A上是有限可加的.但是Ω为无限集时,υ不是可列可加的.4.性质(测度的)半环F上的测度μ的性质(抽样空间Ω)注:半环①.AB、∈FF⇒∈AB②.φ∈F③.AB、∈F⇒∈ABC∑f半环上的测度具有:①.有限可加性②.可减性③.单调性④.下连续性⑤.上连续性⑥.半σ可加性①有限可加性n如果
5、对一切n≥2,Aii∈=F,1,2,,"n,AAij=φ,i≠j,且∑Ai∈F,则i=1第2页共30页《现代概率论》讲义稿第二章测度与积分贵州大学胡尧nnμμ()(∑∑AAii=)ii==11n∞证明:显然,∑Ai=∑Ai,whereAAnn++12==="φi=1i=1n∞∵∑∑AAii∈⇒∈FFii==11由于μ的σ可加性nn∞∞σ可加性μμ(∑∑AAii)(=)=====∑∑μμ()AAii=()ii==11ii==11(因μ()(A==μφ)0)ni+②可减性IfABABBA⊂∈,、、Fandμ()A<∞(有限测度),thenμ()()()BABA=−μμ证明:∵A与
6、BA不交,且B=+ABA(有限不交并)∴μ()B=+μμ()()ABA←利用可加性⇒μ()()()BABA=−μμ③单调性IfABAB⊂∈,、F,thenμ()B≥μ()A④下连续性IfAAA↑∈,F,thenμ()lim()AA=μnnnn→∞证明:kn∀n,由半环性质,∃∈=Ckknk,F,1,2,,"n,stAA..nn−1=∑Cnk(约定A0≠φ)k=1∞∞∞knAAAA===limnnn∪∑(An−1)=∑∑Cnkn→∞n=1nn==11k=1其中C对不同的n与k都不交.nk∞∞kknn∴μμ()ACC==(∑∑nk)∑∑μ()nknk==11nk==11第
7、3页共30页《现代概率论》讲义稿第二章测度与积分贵州大学胡尧NknNkn=lim∑∑μ(Cnk)==lim(μμ∑∑CAnk)lim(N)N→∞NN→∞→∞nk==11nk==11⑤上连续性IfA∈F,∀n,st..AA↓∈Fandμ()A<∞,thenμ()lim()AA=μnn1nn→∞kn证明:由半环的定义,∀n,∃两两不相交的Ckknk,∈F,1=,2,,"n,stAA..nn+1=∑Cnkk=1则AAAA,,"两两不相交,⇒AC,对∀n与k两两不相交.1223nk