资源描述：
《lebusgue测度与积分论.doc(1)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、用集合分析法建立积分论框架摘要在《实变函数》的理论体系及应用方式中，集合分析法都占有不可磨灭的地位。本文通过两条主线：理论线和应用线阐述了集合分析法的在《实变函数》中的具体作用，从而给《实变函数》找到了一条更加清晰的发展脉络，并使得它的应用更具可操作性。关键词：集合、分析、构造、黎曼积分、勒贝格测度、、勒贝格积分LebusgueMeasureandCalculusTheory LiSuwenHaoHuiwei（Collegeofmath.andcomputerscience,Hebeiuniversity,Baoding,071002） Abs
2、tract:Thispaperdiscussingtheemergingofthe‘realfunction’attheverybeginning,mainlydiscussesthebasicroleofmeasuretheoryinrealfunctiontheory.ElaboratethemeaningofCaratheodorydefinitioninpracticaluse.LebusquecalculustheoryisthefurtheruseofRiemanncalculus,andasanewanalysistool,ito
3、vercomesmanydifficultiesinusingRiemanncalculustheory,thus,elaboratingthesuperiorityoverothersinpracticalusing.Keywords:Jordanmeasure,Riemanncalculus,Lebusguemeasure,Measurablefunction,Lebusguecalculus作为近代积分论的基础，测度在其它数学分支如：泛函分析、概率论、复变函数等方面也有广泛的应用。而测度适用于更广泛的集合类，人们当然想到了如果把积分概念置
4、于集合测度理论的框架之中，那么，集合的测度与可测性的推广将意味着函数的积分与可积性的推广。法国数学家勒贝格引入了勒贝格测度这一概念，使积分理论从黎曼积分发展到勒贝格积分，从而克服了传统积分理论的许多缺陷，如扩充了所研究函数的范围和极限的意义，从而推广了传统的微积分理论，创立了实变函数论。从《实变函数》的整个框架结构中，我们看到测度的推广是整个结构的核心，而卡氏定义的给出，正是完成这个推广的关键，卡氏定义的给出过程是充分结合新测度的特征，并完全具有新定义理论架构必须更便捷和好操作的特点。（一）从约当测度到勒贝格测度带来积分论的革命我们知道测度概念
5、就是人们原本所熟悉的长度、面积、体积的推广。在求面积、体积问题上，数学分析比初等几何大大前进了一步。它能够对相当广泛的一类平面或空间图形定义并计算它的面积或体积，例如曲线下的曲边梯形的面积可通过积分来定义：。又如对于更一般的平面点集当其特征函数黎曼可积时，的面积可通过二重积分来定义：。其中为包含的矩形。所有这些可以不依赖于积分概念而在点集论的基础上直接加以定义，而且反过来为黎曼积分服务。因此约当测度可以说是黎曼积分的集合基础。它的具体方式为：不妨设为一有界点集，对于每一组覆盖的开区间(是任一自然数),,各作出它们的体积总和，而不同的区间组一般有
6、不同的，所有这些显然构成一个下方有界的数集，它的下确界由完全确定，称为的约当外测度。记为。另外对于每一组含于互不相交的开区间(是任一自然数),，各作出它们的体积总和，而不同的区间组一般有不同的，所有这些构成一个上方有界的数集，它的上确界由完全确定，称为的约当内测度，记为。如果=，则称为约当可测，记为，即==若设为一区间且有，定义的特征函数：=。我们可以得出有界点集约当可测的充要条件是在一包含的区间上黎曼可积，且。约当测度的性质（可加性）：设A，B为约当可测集且无公共内点，则。（二）Caratheodory定义使得测度的推广简洁完美由约当可测集及
7、其测度的性质易知：任意有限多个约当可测集的并集仍为约当可测，且当它们互不相交时有，但对于一列约当可测集来说，一般就不能保证并集的约当可测性，即使它有界。例如[0，1]中全体有理点，虽然每点都约当可测，但其并不是约当可测的，即约当测度只满足有限可加性，由于约当测度与黎曼积分的密切关系，约当测度的这种局限性也反映到黎曼积分上来。如[a,b]上任意有限多个黎曼可积函数的和仍为黎曼可积，且。但对于一列黎曼可积函数来说，即使有界，一般仍不能保证的黎曼可积性。因此，将约当测度扩充为一个具有可数可加性的测度就成为必然。自然而然，人们能采用的定义过程是这样的定
8、义1：设E为中任一点集，对于每一列覆盖E的开区间，，作出它的体积总和（可以等于，不同的区间列一般有不同），所有这一切的组成一个下方有界的数集，它的下确
