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1、五、B样条曲线的矩阵表示1）二阶B样条曲线 设空间P0P1,….,Pn为n+1个控制点，节点矢量为其中每相邻两个控制点之间可以构造出一段二阶B样条曲线。其中的第j=i-1段二阶B样条曲线Pj(t)的矩阵表示为：；其中，。 对于二阶均匀B样条曲线，其矩阵表示与非均匀B样条曲线的相同： 。2）三阶B样条曲线 给定节点矢量为，n+1个控制点为P0，P1,….,Pn。其中每相邻三个点可构造出一段二次的B样条曲线。其中的第j（=i-2）段三阶B样条曲线Pj(u)的矩阵表示为：；其中，。对于三阶
2、均匀B样条曲线，其矩阵表示为。三阶均匀B样条曲线的端点位置、一阶导数和二阶导数矢量分别为：Pi,3(0)=(Pi+Pi＋1)/2，Pi,3(1)=(Pi＋1+Pi+2)/2；P'i,3(0)=Pi＋1-Pi，P'i,3(1)=Pi+2-Pi＋1，P'i,3(1)=P'i+1,3(0)；P''i,3(t)=Pi-2Pi＋1+Pi+2, 三阶均匀B样条曲线的首末点通过相应边的中点；首末点的切矢方向与相应边重合；二阶导数矢量等于该曲线的两条边矢量Pi＋1-Pi和Pi+2-Pi＋1所构成的对角线矢量。
3、 三阶均匀B样条曲线段为抛物线，两相邻曲线段之间为一阶连续。3）四阶B样条曲线 设节点矢量为，控制点为P0P1,….,Pn，其中每相邻四个点可构造出一段三次的B样条曲线。其中的第j(=i-3)段三次B样条曲线Pi(u)的矩阵表示为：;。其中，, m3,2=-m2,2/3-m3,3-(ti+1-ti)2/[(ti+2-ti)(ti+2-ti-1)],mr,j是第r行第j列的元素。 第j(=i-3)段三次均匀B样条曲线Pj(t)的矩阵表示：。 三次均匀B样条曲线的端点位置、一阶导数和
4、二阶导矢量分别为：Pi,4(0)=（Pi+4Pi＋1+Pi+2）/6，Pi,4(1)=（Pi＋1+4Pi+2+Pi+3）/6；P'i,4(0)=（Pi+2-Pi）/2，P'i,4(1)=（Pi+3-Pi＋1）/2，P'i,3(1)=P'i+1,3(0)；P''i,4(0)=Pi-2Pi＋1+Pi+2，P'i,4(1)=Pi＋1-2Pi+2+Pi+3。 三次均匀B样条曲线段的起点位于以Pj+1Pj和Pj+1Pj+2为邻边的平行四边形的对角线的1/6处；起点的切矢量与PjPj+2平行，切矢量的长度；曲
5、线段起点的二阶导数矢量等于以Pj+1Pj和Pj+1Pj+2为邻边所构成的平行四边形的对角线矢量。4）k阶B样条曲线设节点矢量为，控制点为P0，P1,….,Pn，其中每相邻k个控制点可构造出一段k阶B样条曲线。其中的第j(=i-k＋1)段曲线Pi-k+1(u)的矩阵表示为：（6－4－4）;;其中，Mk(i)称为k阶B样条基矩阵，它由下列递归公式计算：（6－4－5）如果，i＝0，1，…，n+k-1，则由（6－4－4）式所定义的曲线Pi-k+1(u)（i=k-1,k,…,n）为均匀B样条曲线，这时，k阶B样
6、条基矩阵Mk(i)与i无关，简记为Mk：上式也可以显式地表示为：其中，。
