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1、五、B样条曲线的矩阵表示1)二阶B样条曲线 设空间P0P1,….,Pn为n+1个控制点,节点矢量为其中每相邻两个控制点之间可以构造出一段二阶B样条曲线。其中的第j=i-1段二阶B样条曲线Pj(t)的矩阵表示为:;其中,。 对于二阶均匀B样条曲线,其矩阵表示与非均匀B样条曲线的相同: 。2)三阶B样条曲线 给定节点矢量为,n+1个控制点为P0,P1,….,Pn。其中每相邻三个点可构造出一段二次的B样条曲线。其中的第j(=i-2)段三阶B样条曲线Pj(u)的矩阵表示为:;其中,。对于三阶
2、均匀B样条曲线,其矩阵表示为。三阶均匀B样条曲线的端点位置、一阶导数和二阶导数矢量分别为:Pi,3(0)=(Pi+Pi+1)/2,Pi,3(1)=(Pi+1+Pi+2)/2;P'i,3(0)=Pi+1-Pi,P'i,3(1)=Pi+2-Pi+1,P'i,3(1)=P'i+1,3(0);P''i,3(t)=Pi-2Pi+1+Pi+2, 三阶均匀B样条曲线的首末点通过相应边的中点;首末点的切矢方向与相应边重合;二阶导数矢量等于该曲线的两条边矢量Pi+1-Pi和Pi+2-Pi+1所构成的对角线矢量。
3、 三阶均匀B样条曲线段为抛物线,两相邻曲线段之间为一阶连续。3)四阶B样条曲线 设节点矢量为,控制点为P0P1,….,Pn,其中每相邻四个点可构造出一段三次的B样条曲线。其中的第j(=i-3)段三次B样条曲线Pi(u)的矩阵表示为:;。其中,, m3,2=-m2,2/3-m3,3-(ti+1-ti)2/[(ti+2-ti)(ti+2-ti-1)],mr,j是第r行第j列的元素。 第j(=i-3)段三次均匀B样条曲线Pj(t)的矩阵表示:。 三次均匀B样条曲线的端点位置、一阶导数和
4、二阶导矢量分别为:Pi,4(0)=(Pi+4Pi+1+Pi+2)/6,Pi,4(1)=(Pi+1+4Pi+2+Pi+3)/6;P'i,4(0)=(Pi+2-Pi)/2,P'i,4(1)=(Pi+3-Pi+1)/2,P'i,3(1)=P'i+1,3(0);P''i,4(0)=Pi-2Pi+1+Pi+2,P'i,4(1)=Pi+1-2Pi+2+Pi+3。 三次均匀B样条曲线段的起点位于以Pj+1Pj和Pj+1Pj+2为邻边的平行四边形的对角线的1/6处;起点的切矢量与PjPj+2平行,切矢量的长度;曲
5、线段起点的二阶导数矢量等于以Pj+1Pj和Pj+1Pj+2为邻边所构成的平行四边形的对角线矢量。4)k阶B样条曲线设节点矢量为,控制点为P0,P1,….,Pn,其中每相邻k个控制点可构造出一段k阶B样条曲线。其中的第j(=i-k+1)段曲线Pi-k+1(u)的矩阵表示为:(6-4-4);;其中,Mk(i)称为k阶B样条基矩阵,它由下列递归公式计算:(6-4-5)如果,i=0,1,…,n+k-1,则由(6-4-4)式所定义的曲线Pi-k+1(u)(i=k-1,k,…,n)为均匀B样条曲线,这时,k阶B样
6、条基矩阵Mk(i)与i无关,简记为Mk:上式也可以显式地表示为:其中,。