材料力学 中学时 教学课件 作者 赵志岗 叶金铎 等编 第十一章.ppt

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1、第一节概述第二节细长压杆的临界力第三节临界应力及临界应力总图第四节压杆及杆系结构的稳定性计算第五节关于压杆平衡稳定性的再认识第六节压杆稳定性的合理设计第十一章压杆及杆系结构的平衡稳定性第一节概述对物体施加一个微小干扰，使之暂时微微偏离初始平衡构形，当干扰撤去后能自动恢复到初始平衡构形者，属稳定平衡；反之，属于不稳定平衡。由稳定平衡向不稳定平衡过渡的状态，称为临界状态。一、平衡稳定性的概念稳定平衡临界状态不稳定平衡刚体平衡稳定性问题二、两种类型的压杆根据临界应力σcr=Fcr/A是否超过材料的比例极限σp，可将压杆分为两类，即细长压杆和非细长压杆。细长压杆的临界应力

2、σcr不超过材料的比例极限，稳定性分析主要通过弹性线微分方程进行，推导出细长压杆的欧拉公式，用来计算临界力或临界应力。非细长压杆的临界应力σcr已超过材料的比例极限，使用以实验结果为基础的经验公式计算临界应力。第二节细长压杆的临界力一、两端铰支的细长压杆长度为l的压杆AB，在图示平面内弯曲时，其弯曲刚度是EI。当F达到Fcr时，压杆AB可维持微弯的平衡构形，在距左支座为x的截面上，如图应有：（a）根据梁的挠曲线近似微分方程，有(b)或(11-1)式中式(11-1)的通解是(11-2)（c）由边界条件：x=0,v(0)=0,有C1=0；x=l,v(l)=0,有C2s

3、inkl=0。显然不可再有C2=0，这样只会给出零解。令sinkl=0，则应有kl=nπ(n=±1，±2…)或其最小值（即n＝1）即为两端铰支细长压杆的稳定失效临界力Fcr（d)（11-3a)二、两端其他约束的细长压杆1.一端固定，另端自由2.两端固定AB3.一端固定，另端铰支AB第三节临界应力及临界应力总图当轴向压力F=Fcr时，压杆处于临界状态，直线为其不稳定的平衡构形，临界应力σcr为一、细长压杆的临界应力压杆的长细比(压杆的柔度)压杆的临界应力欧拉公式二、非细长压杆的临界应力此公式将临界应力σcr和柔度λ的关系取作如下线性关系1.直线公式式中a、b是材料

4、常数。计算临界应力σcr的抛物线公式为2.抛物线公式式中a1、b1也是材料常数。三、临界应力总图（直线公式）画出临界应力总图（为抛物线公式）第四节压杆及杆系结构的稳定计算1.安全因数法临界应力σcr相应于压杆直线平衡构形由稳定平衡向不稳定平衡转变，届时构件的承载能力将会大为降低，因而σcr可视为构件的失效极限应力，若规定的稳定安全因数为nst，则稳定许可应力［σst］为一、稳定许可应力2.折减因数法考虑到临界应力σcr是柔度λ的函数，安全因数nst也因压杆柔度不同而规定不同的数值，这都说明稳定许可应力［σst］对柔度λ依赖敏感。为方便，可将稳定许可应力［σst］取

5、作［σst］=φ(λ)［σ］式中，φ(λ)称为折减因数，它是压杆柔度λ的函数，且与材料有关；［σ］是强度许可应力。二、稳定计算压杆稳定条件为根据上式可进行三类问题的计算：①稳定校核；②计算许可载荷；③压杆截面设计。第五节关于压杆平衡稳定性的再认识稳定许可应力［σst］和极限应力（亦即临界应力σcr）与强度的相应应力相比，前者的显著特点是对柔度表现敏感，会因柔度的增大而减小，这由临界应力总图上可以看得很清楚。注意到强度许可应力［σ］与柔度无关，是一个常数，将其画入临界应力总图是一根水平线，稳定许可应力［σst］相当于在［σ］的基础上进行了折减，压杆的柔度愈大，许可应力

6、折减愈多，如图11-14所示。一、极限应力和许可应力图11-14临界力、临界应力的计算以及折减系数的选取等都和压杆的柔度密切相关，因而压杆的稳定计算均应由计算柔度入手。二、载荷与平衡构形的非线性关系第一章绪论讲述小变形公设时，曾讲到材料力学通常不考虑杆件变形对力作用（如平衡方程）的影响，此种处理方法既使问题得到简化，又不失准确性。但是这种方法不能用来研究压杆稳定问题，第二节中的式(a)是计入变形对平衡方程影响得到的，这导致了轴向压缩载荷F和微弯挠度υ之间的非线性关系(第二节式(c))三、平衡构形分叉由图11-15中OAC曲线可以看出，压曲载荷F＜Fcr时，压杆只可能

7、处于直线的平衡构形，并且是稳定的平衡构形。当压曲载荷F＞Fcr时，将会出现两种平衡构形：直线平衡构形和微弯平衡构形，前者是不稳定的平衡构形，后者是稳定的平衡构形。图11-15中的A点称为平衡构形的分叉点。图11-15第六节压杆稳定性的合理设计细长压杆的临界应力与材料的弹性模量E有关，较大弹性模量材料制成的压杆会有较大的临界应力，因而会有较高的平衡稳定性。但是，由于各种钢材的弹性模量E相差不大，选择优质钢材与普通钢材相比，通常不会提高压杆的平衡稳定性。非细长压杆的临界应力和材料的强度指标有关，选择强度较高的优质材料，会明显地起到提高压杆稳定性的作用。一、合理地选用