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1、数学杯赛中的体育比赛问题1.（2012年数学解题能力展示五年级初赛）五支足球队比赛，每两个队之间比赛一场；每场比赛胜者积3分，负者积0分，平局则各积1分．比赛完毕后，发现这五个队的积分恰好是五个连续的自然数．设第1、2、3、4、5名分别平了A、B、C、D、E场，那么五位数ABCDE＝．【考点】组合，逻辑推理，体育比赛【难度】☆☆☆☆【答案】132132【分析】5支球队单循环共比赛C10场，则总得分在20分至30分之间；5五队得分是5个连续的自然数，说明总得分为5的倍数.；若总得分为20，说明所有队均打平，若总得分为30，说明所有队比赛均分出胜负，显然均不
2、成立；则总得分为25分，且共有5场平局，5队得分依次为7、6、5、4、3；则必有：第一名7分：2胜1平1负；第三名5分：1胜2平1负；（1）若第四名4分：4平，这要求所有队有平局：第二名6分：1胜3平；第五名3分：3平；此时统计得五队共13平，而实际共需5210平，舍去；（2）若第四名4分：1胜1平2负；此时合计1214平，还需1046平，依此构造如下：第二名6分：1胜3平；第五名3分：3平1负；综上，得ABCDE132132.（2010年仁华四升五入学测试）有若干名队员去参加比赛，每两个队员之间必须且只能赛一场.比赛规定：赢了得2分，平局
3、两人各得一分，输者不得分.当比赛结束后，有5个人各自统计了所有队员的总分，分别是：131，132，133，134，135分.5人里，只有1人统计正确.问：一共有多少名队员参加比赛？【考点】组合，逻辑推理，体育杯赛【难度】☆☆☆【答案】12【分析】根据题意，每打一场比赛，比分会增加2分，则总分必为偶数，所以答案只可能为132分或者134分.所以总共打了66场或者67场比赛.2每两个队员之间必须进行一场比赛，而C66.12所以一共有12名队员参加比赛.3.（17届华杯决赛B卷）有16位选手参加象棋晋级赛,每两人都只赛一盘.每盘胜者积1分,败者积0分.如果和棋
4、,每人各积0.5分.比赛全部结束后,积分不少于10分者晋级.那么本次比赛后最多有位选手晋级.【考点】组合，最值&逻辑推理，体育杯赛【难度】☆☆☆【答案】1121615【分析】16人共需比赛C120场，而每场比赛不论是否分出胜负，总合计1分，162因此16人总分为120分；假设有12人晋级，晋级者总分至少为1210120分，则其余4人均为0分，不符合实际情况；假设有11人晋级，晋级者总分至少为1110110分，则其余5人共10分，可以成立；构造如下：令晋级的11人对未晋级的5人全胜，而11人之间全平，则晋级11人的分数均为：150.51010
5、分.4.（第九届走美杯五年级初赛）n名棋手进行单循环赛，即任两名棋手间都要赛一场.胜利者得2分，平局各得1分，负者得0分.比赛完成后，前4名依次得8、7、5、4分，则n=____【考点】组合，逻辑推理，体育比赛【难度】☆☆☆【答案】62nn(1)nn(1)【分析】n名棋手单循环赛需比赛C场，每场比赛合计2分，总分为:2nn(1)分；n22前四名总分为875424分；若n5，总分为nn(1)20分，舍去；若n6，总分为nn(1)30分，则后两名分数之和为30246，符合要求；18若n7，总分nn(1)42分，则
6、后三名分数之和为422418，平均6分，不符合条件，3之后n每增加1，增加的分数都不小于7，显然不会再出现符合条件的情况.所以n6.5.（15届华杯决赛）足球队A,B,C,D,E进行单循环赛（每两队赛一场）,每场比赛胜队得3分,负队得0分,平局两队各得1分.若A,B,C,D队总分分别是1,4,7,8,请问：E队至多得几分?至少得几分?【考点】组合，逻辑推理，体育比赛【难度】☆☆☆【答案】7，5【分析】1分：1平3负；4分：1胜1平2负或4平；7分：2胜1平1负；8分：2胜2平；若B队1胜1平2负，则四队合计5胜6负5平，此时E队可能为2胜1负1平（
7、7分），也可能为1胜3平（6分）；若B队4平，则四队合计4胜4负8平，此时E队可能是1胜1负2平（5分），也可能是2胜2负（6分），可见E队至多得7分，至少得5分.6.（第9届中环杯六年级初赛）A,B,C,D,E五支足球队进行循环赛，即每两个队之间都要赛一场.每场比赛的胜者得2分，负者得0分，平局两队各得1分.最后各队得分互不相同，并且出现以下情况：第一名的队没平过；第二名的队没有输过；第四名的队没有胜过.请问：全部比赛共平过几场？【考点】组合，逻辑推理，体育比赛【难度】☆☆☆【答案】52【分析】共需比赛C10场，则5队总分为10220分；5假设A,
8、B,C,D,E分别为1至5名；A没有平局，B没有输过，可见A输给B
