有重复组合公式的几种证明方法.pdf

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1、第２７卷第６期大学数学Ｖｏｌ．２７，№．６２０１１年１２月ＣＯＬＬＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳＤｅｃ．２０１１有重复组合公式的几种证明方法张晓琴，李顺勇（山西大学数学与科学学院，太原０３０００６）ｎ＋ｒ－１［摘要］给出了有重复组合公式（ｒ）的四种证明方法，从不同的角度阐释了对这个公式的理解，且给出了两个应用例子，其中一个是关于偏导数的问题．此将对学生的学习有所帮助．［关键词］有重复组合公式；组合数；偏导数［中图分类号］Ｏ２１１．１［文献标识码］Ｃ［文章编号］１６７２－１４５４（２０１１）０６－０１４３－０３１引言在概率论的古典概率讲解部分，涉及到了许多很有用的排列

2、组合公式，其中一个是“有重复组合”公式，即：从ｎ个不同元素中每次取出一个，放回后再取下一个，如此连续取ｒ次所得的组合称为“重复组ｎ＋ｒ－１合”，此种重复组合总数为（）（这里的ｒ允许大于ｎ）．ｒ上述问题可以理解为是一个将ｒ个不可辨的球放入ｎ个盒子中的模型，实际中有许多问题都可以用这个模型来处理．例如，对工作日中事故的分布的统计研究，日历中生日的分布研究等问题中，往往人们仅对发生的次数感兴趣，并不对事故中的个体感兴趣．再如，掷ｒ颗骰子等价于把ｒ个球置于“ｎ＝６”个盒子，因为可以理解为我们最主要关心的是每个点数的个数．在历年的讲授过程中，均发现对此公式的理解及证明是学生

3、的一个疑难问题所在．通过多次的教学积累，总结了如下几种对此公式的证明及理解，最后给出了几个应用的实例．２几种证明方法方法一可考虑如下的定理：定理Ｂ＝｛∞·ｂ１，∞·ｂ２，…，∞·ｂｎ｝的ｒ－组合数为ｎ＋ｒ－１Ｆ（ｎ，ｒ）＝（ｒ）．注１此时表达式Ｂ＝｛∞·ｂ１，∞·ｂ２，…，∞·ｂｎ｝表示此集合内有ｎ个不同的元素，每个元素可以有可列个．证设ｎ个元素ｂ１，ｂ２，…，ｂｎ和自然数１，２，…，ｎ一一对应，于是所考虑的任何组合便可看成一个ｒ个数的组合｛ｃ１，ｃ２…，ｃｎ｝．由于是组合，不妨认为ｃｉ是按大小顺序排列的，相同的ｃｉ连续排在一起，如按ｃ１≤ｃ２≤…≤ｃｒ排列．［收

4、稿日期］２０１１－０４－２８［基金项目］２０１０年山西省研究生教育改革项目（２０１０２００３）１４４大学数学第２７卷又令ｄｉ＝ｃｉ＋ｉ－１（ｉ＝１，２，…，ｒ），即ｄ１＝ｃ１，ｄ２＝ｃ２＋１，…，ｄｒ＝ｃｒ＋ｒ－１．由于ｃｉ最小取１，最大可取ｎ，故ｄｉ的取值最小为１，最大可取ｎ＋ｒ－１，这样就得到集合｛１，２，…，ｎ＋ｒ－１｝的一个ｒ组合ｄ１，ｄ２，…，ｄ（ｄ…＜ｄ）．ｒ１＜ｄ２＜ｒ易见有一种（ｃ１，ｃ２，…，ｃｒ），便有一种（ｄ１，ｄ２，…，ｄｒ）．因此，允许重复地从ｎ个元素中取ｒ个的组合ｎ＋ｒ－１数与不允许重复地从ｎ＋ｒ－１个不同元素中取ｒ个的组合数相等，即（

5、）ｒ．方法二可将ｎ个不同的元素看做ｎ个不同的盒子，有重复的取出的ｒ个元素看作ｒ个无区别的球．则从ｎ个不同的元素中有重复的取出的ｒ个元素的取法数相当于：把ｒ个同样的球放入ｎ个顺次排列的盒子，求不计放球顺序的放法种数．用ｎ＋１条“｜”把空间分成ｎ个盒子，用“＊”代表球．这样符号“｜＊＊＊｜＊｜｜｜｜＊＊＊＊｜”代表这样一个分布：ｒ＝８个球放于ｎ＝６个盒子中，其占位数为：３，１，０，０，０，４．这样的符号的开始和终结必有一条“｜”，但其余的ｎ－１条“｜”和ｒ个“＊”可按任意次序排列．故由此可见，可区别的分布数等于从ｎ＋ｒ－１ｎ＋ｒ－１个位置中任取ｒ个位置的选法，即为（ｒ

6、）．方法三设有ｎ个球可辨，将所有按照要求取到的ｒ个球的可能情况分为如下的ｒ类：ｎｒ－１（ｉ）取到的ｒ个球恰好是同一个球，这时不同的可能取法数为（）；１（０）ｎｒ－１（ｉｉ）取到的ｒ个球恰好是不同的两个球，这时不同的可能取法数为（）；２（１）ｎｒ－１（ｉｉｉ）取到的ｒ个球恰好是不同的三个球，这时不同的可能取法数为（）；３（２）…………；ｎｒ－１（ｒ）取到的ｒ个球恰好是不同的ｒ个球，这时不同的可能取法数为．（）（）－１．ｒｒ将上述各种情况下的可能数相加即得所有的可能数为ｎｒ－１ｎｒ－１ｎｒ－１ｎｒ－１（）…＋１（０）＋（）２（１）＋（）３（２）＋（）（－１）ｒｒｎｒ－

7、１ｎｒ－１ｎｒ－１ｎｒ－１＝（）…＋１（－１）＋（）２（－２）＋（）３（－３）＋（）（０）ｒｒｒｒｎ＋ｒ－１＝（ｒ）．ｎｒ－１注２上述叙述中对记号（）（）（ｉ＝０，１，…，ｒ－１）的理解，以ｎ＝５，ｒ＝６，ｉ＝３来加以说明．此－１ｉｉ时是指从５个不同编号的球中有重复的取６个，且这６个球中有三个不同的编号．不同的取法总数可以ｎ５分２步来理解：第一步先从ｎ＝５个不同的球中任取ｉ＝３个，共有（）＝（）＝１０种取法；第二步将所取ｉ３出的ｉ＝３个球按照至少出现一次的要求不计次序的排满ｒ＝６个位置，如果将这三个不同的编号记为Ａ，Ｂ，Ｃ，则不同的取法数可罗列如下：ＡＡＡＡＢＣ，

8、ＡＡＡＢＢ