随机过程讲义(中科院-孙应飞).pdf

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1、中科院研究生院2009～2010第一学期随机过程讲稿孙应飞第一章随机过程及其分类在概率论中，我们研究了随机变量，n维随机向量。在极限定理中我们研究了无穷多个随机变量，但只局限在它们之间相互独立的情形。将上述情形加以推广，即研究一族无穷多个、相互有关的随机变量，这就是随机过程。1．随机过程的概念定义：设(Ω,Σ,P)是一概率空间，对每一个参数t∈T，X(t,ω)是一定义在概率空间(Ω,Σ,P)上的随机变量，则称随机变量族X={X(t,ω);t∈T}为T该概率空间上的一随机过程。其中T⊂R是一实数集，称为指标集或参数集。随机过程的两

2、种描述方法：用映射表示X，TX(t,ω):T×Ω→R即X(⋅,⋅)是一定义在T×Ω上的二元单值函数，固定t∈T，X(t,⋅)是一定义在样本空间Ω上的函数，即为一随机变量；对于固定的ω∈Ω，X(⋅,ω)是一个关于参数t∈T的函数，通常称为样本函数，或称随机过程的一次实现，所有样本函数的集合确定一随机过程。记号X(t,ω)有时记为X(ω)或简记为X(t)。t参数T一般表示时间或空间。常用的参数一般有：（1）T=N={0,1,2,L}；0（2）T={0,±1,±2,L}；（3）T=[a,b]，其中a可以取0或−∞，b可以取+∞。当参数

3、取可列集时，一般称随机过程为随机序列。随机过程{X(t);t∈T}可能取值的全体所构成的集合称为此随机过程的状态空间，记作S。S中的元素称为状态。状态空间可以由复数、实数或更一般的抽象空间构成。例1：抛掷一枚硬币，样本空间为Ω={H,T}，借此定义：中科院研究生院2009～2010第一学期随机过程讲稿孙应飞cosπt,当出现H时X(t)=t∈(−∞,+∞)2t，当出现T时其中P{H}=P{T}=1/2，则{X(t),t∈(−∞,+∞)}是一随机过程。试考察其样本函数和状态空间。例2：设X(t)=Acos(ωt+θ),t∈(

4、−∞,+∞)其中A和ω是正常数，θ~U(0,2π)。试考察其样本函数和状态空间。例3：设正弦随机过程{X(t);−∞

5、其样本函数和状态空间。若记S为第n个n“顾客”到达的时刻，则{S,n=1,2,L}为一随机序列，我们自然要关心n{S,n=1,2,L}的情况以及它与随机过程{N(t),t≥0}的关系，这时要将两个随n机过程作为一个整体来研究其概率特性（统计特性）。例6：布朗运动。2．随机过程的分类随机过程的分类一般有两种方法：（1）以参数集和状态空间的特征来分类；（2）以统计特征或概率特征来分类。我们分述如下：（一）以参数集和状态空间的特性分类：中科院研究生院2009～2010第一学期随机过程讲稿孙应飞以参数集T的性质，随机过程可分为两大类：（

6、1）T可列；（2）T不可列。以状态空间S的性质，即X(t)所取的值的特征，随机过程也可以分为两大类：（1）离散状态，即X(t)所取的值是离散的；（2）连续状态，即X(t)所取的值是连续的。由此可将随机过程分为以下四类：（a）离散参数离散型随机过程；（b）连续参数离散型随机过程；（c）连续参数连续型随机过程；（d）离散参数连续型随机过程。（二）以随机过程的统计特征或概率特征分类：以随机过程的统计特征或概率特征来进行分类，一般有以下一些：（a）独立增量过程；（b）Markov过程；（c）二阶矩过程；（d）平稳过程；（e）鞅；（f）更

7、新过程；（g）Poission过程；（h）维纳过程。注意：以上两种对随机过程的分类方法并不是独立的，比如，我们以后要讨论的Markov过程，就有参数离散状态空间离散的Markov过程，即Markov链，也要讨论参数连续状态离散的Markov过程，即纯不连续Markov过程。在下面几章中，我们将研究几种重要的、应用非常广泛的随机过程。3．随机过程的数字特征（一）单个随机过程的情形中科院研究生院2009～2010第一学期随机过程讲稿孙应飞设{X(t);t∈T}是一随机过程，为了刻画它的统计特征，通常要用到随机过程的数字特征，即随机过

8、程的均值函数、方差函数、协方差函数和相关函数。下面我们给出它们的定义。（a）均值函数：随机过程{X(t);t∈T}的均值函数定义为：（假设存在）µ(t)=ˆm(t)=E{X(t)}X（b）方差函数：随机过程{X(t);t∈T}的方差函数定义为：（假设存在）22σ