中国科学大学随机过程孙应飞复习题及答案

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1、中科院研究生院2005～2006第一学期随机过程讲稿孙应飞（1）设是一个实的零均值二阶矩过程，其相关函数为，且是一个周期为的函数，即，求方差函数。解：由定义，有：（2）试证明：如果是一独立增量过程，且，那么它必是一个马尔可夫过程。证明：我们要证明：，有形式上我们有：因此，我们只要能证明在已知条件下，与相互独立即可。由独立增量过程的定义可知，当时，增量与相互独立，由于在条件和下，即有与相互独立。由此可知，在条件下，与相互独立，结果成立。（3）设随机过程为零初值（）的、有平稳增量和独立增量的过程，且对每个，，问过程是否为正态过

2、程，为什么？解：任取，则有：－12－中科院研究生院2005～2006第一学期随机过程讲稿孙应飞由平稳增量和独立增量性，可知并且独立因此是联合正态分布的，由可知是正态过程。（1）设为为零初值的标准布朗运动过程，问次过程的均方导数过程是否存在？并说明理由。解：标准布朗运动的相关函数为：如果标准布朗运动是均方可微的，则存在，但是：故不存在，因此标准布朗运动不是均方可微的。（2）设，是零初值、强度的泊松过程。写出过程的转移函数，并问在均方意义下，是否存在，为什么？解：泊松过程的转移率矩阵为：其相关函数为：，由于在，连续，故均方积分

3、存在。（3）在一计算系统中，每一循环具有误差的概率与先前一个循环是否有误差有关，以0表示误差状态，1表示无误差状态，设状态的一步转移矩阵为：－12－中科院研究生院2005～2006第一学期随机过程讲稿孙应飞试说明相应齐次马氏链是遍历的，并求其极限分布（平稳分布）。解：由遍历性定理可知此链是遍历的，极限分布为。（1）设齐次马氏链一步转移概率矩阵如下：（a）写出切普曼－柯尔莫哥洛夫方程（C－K方程）；（b）求步转移概率矩阵；（c）试问此马氏链是平稳序列吗？为什么？解：（a）略（b）（c）此链不具遍历性（2）设，其中为强度为的P

4、oission过程，随机变量与此Poission过程独立，且有如下分布：问：随机过程是否为平稳过程？请说明理由。由于：故是平稳过程。（3）设，其中与独立，都服从（a）此过程是否是正态过程？说明理由。（b）求此过程的相关函数，并说明过程是否平稳。证明：（a）任取，则有：－12－中科院研究生院2005～2006第一学期随机过程讲稿孙应飞由于与独立，且都服从，因此可得服从正态分布，由上式可知随机向量服从正态（高斯）分布，所以过程是正态（高斯）过程。（b）由：由于相关函数不是时间差的函数，因此此过程不是平稳过程。（1）设，是零初值

5、、强度的泊松过程。（a）求它的概率转移函数；（b）令，说明存在，并求它的二阶矩。解：（a）（b）先求相关函数：对任意的，在处连续，故均方连续，因此均方可积，存在。将代入计算积分即可。由，得：－12－中科院研究生院2005～2006第一学期随机过程讲稿孙应飞（1）设一口袋中装有三种颜色（红、黄、白）的小球，其数量分别为3、4、3。现在不断地随机逐一摸球，有放回，且视摸出球地颜色计分：红、黄、白分别计1、0、-1分。第一次摸球之前没有积分。以表示第次取出球后的累计积分，（a），是否齐次马氏链？说明理由。（b）如果不是马氏链，写

6、出它的有穷维分布函数族；如果是，写出它的一步转移概率和两步转移概率。（c）令，求。解：（a）是齐次马氏链。由于目前的积分只与最近一次取球后的积分有关，因此此链具有马氏性且是齐次的。状态空间为：。（b）（c）即求首达概率，注意画状态转移图。（2）考察两个谐波随机信号和，其中：式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。（a）求的均值、方差和相关函数；－12－中科院研究生院2005～2006第一学期随机过程讲稿孙应飞（b）若与独立，求与的互相关函数。解：（a），（b）（1）令谐波随机信号：式中为固定的实

7、数；是内均匀分布的随机变量，考察两种情况：（a）幅值为一固定的正实数；（b）幅值为一与独立，分布密度函数为的随机变量；试问谐波随机信号在两种情况下是平稳的吗？（a）如12题（b）略（2）设是一强度为的Poission过程，记，试求随机过程的均值和相关函数。解：利用导数过程相关函数与原过程相关函数的关系即可得：（3）研究下列随机过程的均方连续性，均方可导性和均方可积性。当均方可导时，试求均方导数过程的均值函数和相关函数。（a），其中是相互独立的二阶矩随机变量，均值为，方差为；（b），其中是相互独立的二阶矩随机变量，均值为，方

8、差为。略（4）求下列随机过程的均值函数和相关函数，从而判定其均方连续性和均方可微性。（a），其中是参数为1的Wienner过程。（b）,其中是参数为的Wienner过程。－12－中科院研究生院2005～2006第一学期随机过程讲稿孙应飞解：（a）连续，故均方连续，均方可积。（b）均方连续，均方可积。（1