孙应飞 随机过程讲义 第一章

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1、菁英班_随机过程讲稿作者孙应飞第一章随机过程及其分类在概率论中，我们研究了随机变量，维随机向量。在极限定理中我们研究了无穷多个随机变量，但只局限在它们之间相互独立的情形。将上述情形加以推广，即研究一族无穷多个、相互有关的随机变量，这就是随机过程。1．随机过程的概念定义：设是一概率空间，对每一个参数，是一定义在概率空间上的随机变量，则称随机变量族为该概率空间上的一随机过程。其中是一实数集，称为指标集或参数集。随机过程的两种描述方法：用映射表示，即是一定义在上的二元单值函数，固定，是一定义在样本空间上的函数，即为一随机变量；对于固定的，是一个关于参数的函数，通常称为样本函数，或称随机过程的一次实

2、现，所有样本函数的集合确定一随机过程。记号有时记为或简记为。参数一般表示时间或空间。常用的参数一般有：（1）；（2）；（3），其中可以取或，可以取。当参数取可列集时，一般称随机过程为随机序列。随机过程可能取值的全体所构成的集合称为此随机过程的状态空间，记作。中的元素称为状态。状态空间可以由复数、实数或更一般的抽象空间构成。实际应用中，随机过程的状态一般都具有特定的物理意义。例1：抛掷一枚硬币，样本空间为，借此定义：菁英班_随机过程讲稿作者孙应飞其中，则是一随机过程。试考察其样本函数和状态空间。例2：设其中和是正常数，。试考察其样本函数和状态空间。例3：设正弦随机过程，其中：，是常数，。试求：

3、（1）举例画出的样本函数；（2）确定过程的状态空间；（3）求时的密度函数。例4：质点在直线上的随机游动，令为质点在时刻时所处的位置，试考察其样本函数和状态空间。例5：考察某“服务站”在时间内到达的“顾客”数，记为，则是一随机过程，试考察其样本函数和状态空间。若记为第个“顾客”到达的时刻，则为一随机序列，我们自然要关心的情况以及它与随机过程的关系，这时要将两个随机过程作为一个整体来研究其概率特性（统计特性）。例6：布朗运动。1．随机过程的分类随机过程的分类一般有两种方法：（1）以参数集和状态空间的特征来分类；（2）以统计特征或概率特征来分类。我们分述如下：（一）以参数集和状态空间的特性分类：菁

4、英班_随机过程讲稿作者孙应飞以参数集的性质，随机过程可分为两大类：（1）可列；（2）不可列。以状态空间的性质，即所取的值的特征，随机过程也可以分为两大类：（1）离散状态，即所取的值是离散的；（2）连续状态，即所取的值是连续的。由此可将随机过程分为以下四类：（a）离散参数离散型随机过程；（b）连续参数离散型随机过程；（c）连续参数连续型随机过程；（d）离散参数连续型随机过程。（二）以随机过程的统计特征或概率特征分类：以随机过程的统计特征或概率特征来进行分类，一般有以下一些：（a）独立增量过程；（b）Markov过程；（c）二阶矩过程；（d）平稳过程；（e）鞅；（f）更新过程；（g）Poissi

5、on过程；（h）维纳过程。注意：以上两种对随机过程的分类方法并不是独立的，比如，我们以后要讨论的Markov过程，就有参数离散状态空间离散的Markov过程，即Markov链，也要讨论参数连续状态离散的Markov过程，即纯不连续Markov过程。在下面几章中，我们将研究几种重要的、应用非常广泛的随机过程。1．随机过程的数字特征（一）单个随机过程的情形菁英班_随机过程讲稿作者孙应飞设是一随机过程，为了刻画它的统计特征，通常要用到随机过程的数字特征，即随机过程的均值函数、方差函数、协方差函数和相关函数。下面我们给出它们的定义。（a）均值函数：随机过程的均值函数定义为：（假设存在）（b）方差函数

6、：随机过程的方差函数定义为：（假设存在）（c）（自）协方差函数：随机过程的（自）协方差函数定义为：（d）（自）相关函数：随机过程的（自）相关函数定义为：（e）特征函数：记：称为随机过程的有限维特征函数族。数字特征之间的关系：例7：考察上面的例1，（1）写出的一维分布列；（2）写出的二维分布列；（3）求该过程的均值函数和相关函数。菁英班_随机过程讲稿作者孙应飞例8：求例2中随机过程的均值函数和相关函数。（一）两个随机过程的情形设、是两个随机过程，它们具有相同的参数集，对于它们的数字特征，除了有它们自己的数字特征外，我们还有：（a）互协方差函数：随机过程和的互协方差函数定义为：（b）互相关函数：

7、随机过程和的互相关函数定义为：互协方差函数和互相关函数有以下的关系：如果两个随机过程和，对于任意的两个参数，有或则称随机过程和是统计不相关的或不相关的。（二）有限维分布族设是一随机过程，对于，，记其全体菁英班_随机过程讲稿作者孙应飞称为随机过程的有限维分布族。它具有以下的性质：（1）对称性：对的任意排列，则有：（2）相容性：对于，有：注1：随机过程的统计特性完全由它的有限维分布族决定。注2：有限维分布族与有限