工程数学 教学课件 作者 周忠荣 等编著第8章 傅里叶变换.ppt

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1、第8章傅里叶变换本章主要内容傅里叶级数、傅里叶积分、傅里叶变换、卷积等概念傅里叶积分的复数形式、傅里叶积分公式、傅氏积分定理指数衰减函数、单位阶跃函数、单位脉冲函数的基本知识10/2/20211第8章傅里叶变换周忠荣编第8章傅里叶变换（续一）本章主要内容（续）傅里叶变换的基本性质，卷积的性质和卷积定理周期函数与离散频谱、非周期函数与连续频谱10/2/20212第8章傅里叶变换周忠荣编第8章傅里叶变换（续二）在数学中，常常采用变换的方法将比较复杂的运算转化为比较简单的运算。在第2章介绍过，给定一个n阶可逆矩阵A，任意一个n维向量x左乘矩阵A变换成了向量y

2、，即y＝Ax。向量y左乘矩阵A的逆矩阵A－1又重新变换为向量x，即x＝A－1y。上述变换通常称为线性变换。两个直角坐标系间的旋转变换就是一种线性变换。对方阵进行的各种初等行变换都是线性变换。10/2/20213第8章傅里叶变换周忠荣编第8章傅里叶变换（续三）所谓积分变换就是把自变量为t（或者说数域t中）某函数类A中的函数f(t)乘上一个确定的二元函数k(t,p)，经过可逆的积分变为自变量为p（或者说数域p中）某函数类B中的函数F(p)的一种数学过程。这里的二元函数k(t,p)通常称为积分变换的核，F(p)称为f(t)的像函数，相应地，f(t)称为F(p

3、)的像原函数。10/2/20214第8章傅里叶变换周忠荣编第8章傅里叶变换（续四）简单地说，积分变换就是通过积分运算把一个函数变成另一个函数的变换。选取不同的核函数和积分域就得到不同的积分变换。本章和第9章将分别介绍傅里叶变换和拉普拉斯变换。傅里叶变换在信号处理、电子技术、线性系统、量子物理等工程技术与科学领域都有着广泛的应用。本章将介绍傅里叶变换的概念与性质、卷积以及傅里叶变换的一些简单应用。10/2/20215第8章傅里叶变换周忠荣编第8章傅里叶变换（续五）傅里叶变换不仅能简化数学运算，如将常微分方程化为代数方程，将复杂的卷积运算化为简单的乘积运算

4、等等，而且还具有非常特殊的物理意义。对于信号处理，一个时间信号通常可以表示为一个时间的函数f(t)，时间信号f(t)的傅里叶变换F(ω)在整体上刻画了f(t)的频率特性，自变量ω就是连续变化的角频率。10/2/20216第8章傅里叶变换周忠荣编8.1傅里叶级数定义8-1设f(x)是周期为2的函数，则称三角级数(8-1)其中10/2/20217第8章傅里叶变换周忠荣编8.1傅里叶级数（续一）为f(x)的傅里叶级数，简称傅氏级数，称a0，an，bn(n＝1,2,3,…)为f(x)的傅里叶系数。在电学中，f(x)的傅里叶级数中的又称为f(x)的基波，而(a

5、ncosnx＋bnsinnx)则称为的f(x)第n次谐波。10/2/20218第8章傅里叶变换周忠荣编8.1傅里叶级数（续二）定理8-1（狄利克雷收敛条件）设f(x)是周期为2的函数，若f(x)在一个周期内满足条件：（1）连续或有限个第一类间断点；（2）只有有限个极值点。则f(x)的傅里叶级数收敛，且在其连续点x处，级数收敛于f(x)；而在其第一类间断点x0处，级数收敛于10/2/20219第8章傅里叶变换周忠荣编8.1傅里叶级数（续三）例8-1设f(x)是周期为2的函数，它在上的表达式为将f(x)展开为傅里叶级数。解f(x)满足收敛定理8-1的条

6、件。先计算傅里叶系数10/2/202110第8章傅里叶变换周忠荣编8.1傅里叶级数（续四）续解10/2/202111第8章傅里叶变换周忠荣编8.1傅里叶级数（续五）续解这就得到f(x)的傅里叶级数：当时，该级数收敛于10/2/202112第8章傅里叶变换周忠荣编8.1傅里叶级数（续六）下图和上图分别是f(x)与它的傅里叶级数的图像。10/2/202113第8章傅里叶变换周忠荣编8.1傅里叶级数（续七）由于在求f(x)的傅里叶系数时，只需用到f(x)在[－,＋]上的部分，因此即使f(x)只在[－,＋]上有定义，只要它满足收敛定理的条件，仍然可以将

7、它展开为傅里叶级数。在[－,＋)以外补充f(x)的定义，使它拓展为成一个周期为2的函数F(x)，且当－≤x＜＋时，F(x)＝f(x)。按这种方式拓展函数定义域的过程称为周期延拓10/2/202114第8章傅里叶变换周忠荣编8.1傅里叶级数（续八）然后将F(x)展开为傅里叶级数，再将F(x)的傅里叶级数限制在[－,＋]上，这样就得到f(x)的傅里叶级数展开式。根据收敛定理，该级数在区间端点处收敛于。10/2/202115第8章傅里叶变换周忠荣编8.1傅里叶级数（续九）例8-2将函数f(t)＝

8、sint

9、(－≤t＜＋)展开为傅里叶级数。解

10、f(t)在[－,＋]上满足收敛定理8-1的条件。将f(t)在[－,＋)以外拓展成一个周