数值分析(全书).pdf

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1、数值分析NumericalAnalysis重庆交通大学理学院引言在科学与工程设计中，电子计算机的应用日益广泛，计算机已经成为工程技术人员和各类管理人员极其有用的工具。数值分析是计算数学最基本的内容之一，它研究如何用数值计算方法求解各类基本的数学问题，以及求解过程中出现的收敛性、数值稳定性和误差估计等问题。通过本课程学习，培养学生科学与工程计算能力，面对大量的实际问题得到的数学模型，如何选择适当地计算方法通过计算机实现；如何分析所选算法的稳定性和优缺点；如何尽量减少运算量；…，这些问题都要通过本课程学习逐步解决。由于课时等原因限制，我们仅研究非线性方程数值解法、线性方程组数值解

2、法、插值与函数逼近、数值积分。在学习本课程的过程中，同学们应结合已经学习的高级语言对学习的各种算法编制程序并上机调试，在计算机上实现这些算法，这样学习才有收获。另外有条件的同学应该同时学习或熟悉MATLAB软件，我们学习的算法在MATLAB中基本上都有命令。1第一章误差§1.1误差数值解：满足一定精度的近似解。精度：我们用误差或近似数的有效数字刻画。一、误差的产生和分类收集实际问题建立模型收集数据选择算法编程求解验证结果模型误差观测误差截断误差舍入误差1、模型误差2、观测误差3、截断误差4、舍如误差二、绝对误差与相对误差设x是物理量，a是x的近似值，称exa=−的绝对值e为a

3、作为x近似的绝对误差。一般情况下绝对误差是未知的，我们需要它如何被控制。若存在ε>0，使得绝对误差满足e≤ε，则称ε为绝对误差限，即ax−ε≤≤+aε。绝对误差与x有相同的量纲。x−−aexae称=或=为相对误差，相对误差一般用百分数表示，由xxaa于绝对误差是未知的，则相对误差也未知，我们希望它能被控制。若存在δ>0，ee使得绝对误差满足≤δ或≤δ，则称δ为相对误差限。xa三、有效数字2设a是x的近似值，若a的绝对误差限是其某一位数的半各单位，并从该位起到它左边第一个非零数共有n位数，则称a作为x的近似有n位有效数字。准确数有无穷位有效数字。一般若存在非负整数m使得−man

4、xae−=≤×0.510，且从的小数点后往左数到左边第一位非零数有位数，则a作为x的近似有n位有效数字。四、函数的误差设是ax的近似值，绝对误差限和相对误差限分别是ε和；δ设b是y的近xx似值，绝对误差限和相对误差限分别是ε和δ，ufxvgxy==(),,()，则有yyf()xfafaxa−≈()′()−，gxy(,,,)−gab()≈−gabxa′′xy()()()+gabyb,(−)，因而有ε≈fa′()ε，和ε≈+gab′′(,,)εgab()ε。特别对于和、差、积、商uxvxxyy的误差有：(xyab±−±≤+)()εε，xy(xyab+−+)()≤max{}δx,δ

5、y，（x与y同号）；xy+(xyab−−−)()⎧⎪δx,xy≈⎨，（x与y同号）；xy−⎪⎩δy,yxxyab−≤+()xymax{εx,εy}；xyab−≤+δδ；xyxyxayxε+εxy−≤；2ybyxa−yb≤+δδ。xyxy由上可知，我们应该避免两个很接近的近似数相减，避免“大数”除以“小数”。3§1.2数值计算中应该遵循的原则数值计算中应遵循以下原则：1、选择计算复杂性较好的算法。时间复杂性：乘除法计算量刻画；2n例1：计算Px()=++++aaxax"axnn0010100k⎧sa==xk,0,1,,"n⎪kk0解：；算法一：⎨n⎪Ps=⎩∑k=0k⎧Ta

6、Tx==+=,,Taknn−1,−2,",2,1,0nnk01kk+算法二：⎨。⎩PT=0空间复杂性：算法所占计算机内存多少刻画。2、选择数值稳定性较好的算法。n1x例2：计算Id==x,n0,1,",100。n∫0x+5111n−1解：∵xdx=∴+,5yy=。∫nn−10nn⎧y=−≈ln6ln50.18230⎪算法一：⎨1；⎪yy=−5nn−1⎩n⎧111⎛⎞⎪y≈+≈⎜⎟0.001815100⎪2606⎝⎠505算法一：⎨，⎪11yy=−⎪⎩nn−155n11111001001其中，yx100===∫∫.,dxxdxξ∈(0,1)。00x++5ξξ5101()+53、

7、防止“大数吃掉小数”。例3．在四位十进制下计算254700012++++"499。解：254700012++++"499477=×0.254710+0.000000110×+2+"+49977=×0.254710+×0.000010+2+"+4997=×0.254710+2+"+4997=×0.2547104、尽量避免两个很接近的近似数相减。5、尽量避免绝对值大的近似数除以绝对值小的近似数。5§1.3范数n为了在向量空间引进误差和收敛的概念，将R中绝对值概念推广到R中。一、向量范数nnDef1.1.在R